Matematické Fórum

matge · 05. 03. 2019 23:06 — Editoval matge (05. 03. 2019 23:08)

Zdravím, mám určit délku křivky vodorovného vrhu přes integrál, avšak nevím si s ním rady. Je zadán parametricky

$x=v_{0}t$
$y=h-{\frac{1}{2}}gt^{2}$

s tím, že dopadne do vzdálenosti h, tedy meze jsou <0, h>

vím, že pro délku křivky platí

$\int_{\alpha}^{\beta} = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}$

Stačí mi toto pouze zderivovat a dosadit? Derivuji to podle t. Nebo je nutno to převést na polární souřadnice? To ovšem nevím jak.

Díky

laszky · 05. 03. 2019 23:25

↑ matge:

Akorat, pokud je x-ova vzdalenost h, je nutne zvolit $\alpha=0$ , $\beta=\frac{h}{v_0}$ .

matge · 05. 03. 2019 23:43

↑ laszky:

A proc? Z jakeho duvodu? Jinak by byl navrzeny postup ok? DIKY

zdenek1 · 06. 03. 2019 07:24

↑ matge:
Protože $\alpha$ a $\beta$ jsou časy. Tj. $\alpha$ je čas v okamžiku startu a $\beta$ v okamžiku dopadu. A start je v čases "nula" a dopad (podle vztahu $t=\frac sv$ ) ti dá ↑ laszky:ho vztah.

Rumburak · 06. 03. 2019 11:00

↑ matge:

Ahoj. Jen doplňující poznámka:

U integrálů - zejména ve fyzice - je v zájmu přehlednosti výhodné specifikovat integrační proměnnou.
V této úloze se integruje podle časové proměnné (protože rychlost v okamžiku $t$ je derivací délky
"již vykonané" dráhy podle času, takže celková délka dráhy je - stručně řečeno - integrálem rychlosti
podle času). Časovou proměnnou obvykle značíme symbolem $t$ , tudíž příslušný integrál zapíšeme
ve tvaru

$\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(x')^2 + (y')^2} \text{d}t$ .

matge · 06. 03. 2019 11:38

↑ Rumburak:
Díky,
tak když zderivuji a dosadím, potom v integrálu mě to vede na substituci. Tam ale nevím co vysubstituovat, protože ani jedna strana mě nikam nevede

$\int_{0}^{\frac{h}{v_0}}\sqrt{v_0^2 +g^2t^2} dt$

Rumburak · 06. 03. 2019 12:52

↑ matge:

Tento integrál je sestaven správně. K jeho výpočtu lze (po vhodné úpravě) použít jednu z "hyperbolických"
substitucí - pomocí vztahu $\cosh u = \sqrt{1 + \sinh^2 u}$ . (Funkce sinh , cosh se nazývají hyperbolický sinus,
hyperbolický kosinus - zkus se na ně zaměřit, základní vlastnosti by měly stačit. )

matge · 06. 03. 2019 13:20

↑ Rumburak:

Díky za radu, ale nemůžu přijít na to, jak to vhodně upravit a aplikovat. S hyperbolickými funkcemi jsem se prakticky nikdy nesetkal.

Honzc · 06. 03. 2019 14:20 — Editoval Honzc (06. 03. 2019 14:25)

↑ matge:
Parametrické rovnice opravdu odpovídají vodorovnému vrhu. Ovšem ty píšeš, že h je vzdálenost dopadu, ale normálně je to výška nad povrchem odkud se vrh provádí. (čemuž odpovídá i rovnice pro y(t))
Pokud si se spletl a je to opravdu výška, pak meze integrálu budou $\alpha= 0,\beta =\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Nápověda:
$\int_{}^{}\sqrt{a^{2}+x^{2}}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{a^{2}+x^{2}}+a^{2}\ln |x+\sqrt{a^{2}+x^{2}}|)$
Např. pro v0=10 ms-1,g=10 ms-2,h=5 m vyjde délka 11.478 m jak výpočtem, tak i modelováním.

Rumburak

↑ matge:

Pro libovolné komplexní číslo $x$ značíme

$\sinh x = \frac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{2}$ , $\cosh x = \frac{\text{e}^x + \text{e}^{-x}}{2}$ .

Nás u této úlohy samozřejmě zajímají jen $x$ reálná.

Snadno nahlédneme, že v libovolném bodě $x$ platí vztahy

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ,

$(\sinh x)' = \cosh x$ , $(\cosh x)' = \sinh x$ ,

které se Ti pro vhodnou úpravu integrandu a nalezení vhodné substituce pomocí těchto funkcí budou hodit.