Matematické Fórum

sqrt(211) · 04. 03. 2019 10:57

Zdravím, potřeboval bych vysvětlit jednu věc, se kterou mi google moc neporadil.

V prvním semestru nás naučili mechanicky derivovat způsobem
$f(x)=x^{2}$
$f´(x)=2x$

Teď ale došlo na používání tvaru
$\frac{dy}{dx}$
a skoro vůbec se nechytám.

Už jsem pochopil, že třeba ve fyzice se tímto tvarem specifikují veličiny na svislé a vodorovné ose grafu závislost - logicky musí být dvě.

Ale už nerozumím tomu jakými pravidly se řídí operace, kdy třeba můžu vynásobit rovnici dx - pak mám na jedné straně rovnice dy a na druhé dx a ještě se tam objeví integrály. Co tento krok znamená? Jaký má význam dy a dx odděleně (ne ve zlomku dy/dx)?

Předem díky za objasnění!

sqrt(211) · 04. 03. 2019 10:58

místo té chybové hlášky má být $f´(x)=2x$

sqrt(211) · 04. 03. 2019 10:59

tedy potřetí - má ta, být f´(x) = 2x

Jj · 04. 03. 2019 12:52

↑ sqrt(211):

Hezký den.

Jde o Leibnizovo značení derivací. Pod tímto heslem se určitě dá na netu ledacos zajímavého najít, třeba Odkaz

vlado_bb · 04. 03. 2019 14:22

↑ sqrt(211): V tejto faze studia mozes pokojne akceptovat nasledujuce:

1. $\frac{dy}{dx}$ je to iste ako $y'$ (ak $y$ je funkcia premennej $x$ ).

2. Symboly $dy, dx$ nemaju nijaky zmysel, $\frac{dy}{dx}$ nie je zlomok, ale symbol pre derivaciu.

Naskor pri studiu fyziky a jej historie sa dozvies viac.

Stýv · 04. 03. 2019 15:14

$f'(x)=2x$
Derivace se dělá pomocí apostrofu, nikoli čárky.

MichalAld

Pokud jde o samotné dx, dy - podle mě v rámci matematiky to představuje jen tzv. formální úpravy, tj takové, kterými se sice formálně dopracujeme k výsledku, ale nelze to brát jako matematické odvození - které je nutné udělat precizně, bez takovýchto obezliček.

Na druhou stranu, když nám to pomůže najít řešení diferenciální rovnice - není až takový problém pak ověřit, jestli to co jsme našli rovnici opravdu řeší.

Já vždycky slyšel, že matematici to neradi vidí.

Pokud jde o fyziku - tak si pod tím představujeme nějaké velmi malé elementy dané veličiny. A pravda je, že se s tím ve fyzice asi zachází né zcela korektně, z matematického hlediska. Třeba vzorec pro výpočet těžiště se běžně píše jako (doufám, že to mám správně, hi)

$T = \frac{1}{m} \int_{}^{} \overrightarrow{r}dm$

což by znamenalo, že polohový vektor r je nějakou funkcí hmotnosti m, což j v podstatě blbost...

Nicméně když se do toho vhodně dosadí, jako že

$dm = \varrho dV = \varrho_{(x,y,z)} dxdydz$

tak je to už v pořádku. Ale zase je těžké si pod ním něco představit, zatímco ten první vztah - je to prostě součet přes všechna rdm, tedy malé kostičky toho tělesa (o malé hmotnosti dm) vynásobené její polohou.

krakonoš · 05. 03. 2019 17:57

↑ vlado_bb:
Ahoj.
Prosim tě o vysvětlení,že dx a dy nemají vůbec žádný význam.To že derivaci nelze brát jako zlomek je známé a bere se to jako nešvar hlavně při používání substituce,kde se s tím v reáu tak pracuje.
Já ale myslela,že symboly dx dy mají význam malých přírustků,například u totálního diferenciálu,kdy lze vlastně zanedbat poslední členy ve fundamentálním lemmatu,problém vidím jen v tom,co lze považovat za "malé",kdy ještě vlastně bude totální diferenciál dobrou aproximací pro vyjádření celkové změny.Nicméně ta tendence brát dx jako malé přírustky tady je.

Bati · 06. 03. 2019 00:48

Ahoj vsem,
myslim, ze tohle tema by si zaslouzilo trochu preciznejsi vyklad nez dosud, nebot symboly $dx_i$ znaci lokalni bazi tecneho prostoru, ktery je izomorfni $\mathbb{R}^n$ . :-)

Pokud zvolis pevne bod $a$ a prijmes definici
$df(v):=\partial_v f=\lim_{t\to0}\frac1t(f(a+tv)-f(a))$
(smerova derivace), pak z toho uz vsechno dostanes prirozenym zpusobem. Kdyz si totiz vezmes $\phi_i(x):=x_i$ , plati $d\phi_i(v)=v_i$ , takze muzes dosadit:
$df(v)=\partial_{v}f=\nabla f\cdot v=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}v_i=\sum_i \frac{\partial f}{\partial x_i}d\phi_i(v)$ , zkracene zapsano
$df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}d\phi_i$
Odtud uz vidis, cemu by mel odpovidat objekt $dx_i$ ... $d\phi_i$ . Prisne vzato je to tedy urcity funkcional na $\mathbb{R}^n$ . Vsimni si, ze $d\phi_i(e_j)=\delta_{ij}$ , takze prvky $d\phi_i$ tvori bazi dualniho prostoru k $\mathbb{R}^n$ . Protoze dual k $\mathbb{R}^n$ je izomorfni zase $\mathbb{R}^n$ , normalni lidi proste pisou
$df=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$
a chapou $dx_i$ spis jako vektory.

Co se tyce znaceni $\frac{df}{dx}$ ...staci si vsimnout ze v jedne dimenzi je to to same jako $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ , takze skutecne dostavame $df=\frac{df}{dx}dx$ .

Krasa toho celyho je, ze se to da primo pouzit i k definici "diferencialu" na krivych plochach.

Rumburak

↑ sqrt(211):

Ahoj. Výraz

(1) $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$

lze naopak pojmout i čistě formálně (t.j. jako celek):

Nechť $y$ je funkcí reálné proměnné $x$ - jde tedy o funkci tvaru $x \mapsto y(x)$ . Má-li tato funkce
na nějakém (otevřeném) intervalu derivaci $y'$ , můžeme symbol (1) vnímat jen jako jiný zápis
symbolu $y'$ . Toto pojetí je velmi názorné, často se používá ve fyzice.

MichalAld · 06. 03. 2019 17:13

↑ Bati:

Tohle na matematice miluju. Nemusíme vědět, co to to dx, dy, dz je, ale když se je naučíme sčítat (dx + dx = 2dx) a násobit číslem, můžeme z nich složit vektor a provádět s ním všechny věci, co s každým jiným vektorem.

Nicméně když jsme u toho, zajímavé je, že dx či dy se samostatně vyskytovat mohou, zatímco $\partial x, \partial y$ se samostatně nevyskytují, přitom je to v podstatě to samé.

MichalAld · 06. 03. 2019 17:22

Já samozřejmě do matematického formalismu úplně nevidím (takže třeba ty distribuce mi trochu unikají), ale selským rozumem se to dá chápat dvěma způsoby:

První způsob je, že ty nekonečně malé elementy dx, dy nahradíme konečně malými, tedy

$\Delta y = y' \Delta x = \frac{\partial y}{\partial x} \Delta x$

a odpovídá to tečně v tom bodě, kde počítáme tu derivaci (případně tečné ploše u 2D funkcí, nebo tečné nadploše u funkcí více parametrů). A přesně v tom smyslu o tom uvažujeme - že ty elementy nepovažujeme za nekonečně malé, ale jen velmi, velmi malé.

No a druhý způsob, prostě máme na paměti, že výraz

$dy = y' dx = \frac{\partial y}{\partial x} dx$

má reálný význam jen když na něj aplikujeme operaci integrování, tedy

$\int dy = \int y' dx = \int \frac{\partial y}{\partial x} dx = y$

(schválně tam píšu ty parciální derivace, i když by tam pro funkci jedné proměnné vlastně neměly být).

krakonoš

↑ MichalAld:
Ahoj.
To co v zaveru pises ,je pro y rovno f(x)vlastne princip prevodu Stieltgesova integralu na Lebesgueuv s pomoci Radon Nykodemovy derivace.Ve statistice jde o derivaci distribucni funkce,a tak se vlastne do vypoctu dostane hustota ( napr pri vypoctu stredni hodnoty).

MichalAld · 06. 03. 2019 19:28

krakonoš napsal(a):
↑ MichalAld:
Ahoj.
To co v zaveru pises ,je pro y rovno f(x)vlastne princip prevodu Stieltgesova integralu na Lebesgueuv s pomoci Radon Nykodemovy derivace.Ve statistice jde o derivaci distribucni funkce,a tak se vlastne do vypoctu dostane hustota ( napr pri vypoctu stredni hodnoty).

Hm.... obávám se, že jediné slovo, kterému z této věty určitě rozumím je to úvodní "ahoj", hi.

MichalAld

krakonoš napsal(a):
Já ale myslela,že symboly dx dy mají význam malých přírustků,například u totálního diferenciálu,kdy lze vlastně zanedbat poslední členy ve fundamentálním lemmatu,problém vidím jen v tom,co lze považovat za "malé",kdy ještě vlastně bude totální diferenciál dobrou aproximací pro vyjádření celkové změny.

Já si nevzpomínám, že bych se někdy setkal s tím, že by se pomocí diferenciálu skutečně aproximovala nějaká funkce.

Vše, co jsem kdy potkal - tak se to nakonec stejně zintegrovalo.

Příklad - když se budeme snažit odvodit vzorec pro kinetickou energii. Máme Newtonův zákon:

$F = ma = m\frac{dv}{dt}$

vynásobíme ds:

$Fds = m\frac{dv}{dt}ds=m \frac{ds}{dt}dv=mvdv$

a zintegrujeme

$\int Fds = \int mvdv$

$W = \frac{1}{2}mv^2$

Jak by se to odvozovalo "matematicky korektně", to já nevím, takto se to běžně dělá ve fyzice.

krakonoš

↑ MichalAld:

Mam na mysli jaka je napriklad zmena objemu pri nepatrnych zmenach rozmeru telesa t.j. parcialni derivace objemu podlex vynasobena prirustkem x plus parcialni derivace objemu podle y krat prirustek y atd...
A ta integrace u Stieltgesova integralu souvisi s tim,ze integrujeme podle funkce promenne x,a integral prevedeme na Lebesgeuv ,kde integrujeme podle x,to se probira v teorii miry a integralu.

Bati · 06. 03. 2019 21:30

↑ MichalAld:
$\partial x$ je pro me ciste jen znaceni, pomoci kteryho opisuju definici derivace, tj. limitu. To,co se zavadi je diferencial $d$ . A jak jsem vysvetlil nahore, je to zobrazeni z funkci do funkcionalu (netreba mluvit o distribucich - jsme jen v konecne dimenzi). Takze, aby to dostalo smysl, staci to otestovat vektorem, netreba integrovat.

Rumburak

↑ MichalAld:

Ahoj.

Přesná definice symbolů $\text{d}x, \text{d}y$ , obecněji $\text{d}f$ , je-li $f$ vhodná funkce proměnné $x$ , je následující:

Pro jednoduchost předpokládejme, že se pohybujeme v oboru reálných funkcí jedné reálné proměnné.
Má-li funkce $f$ v pevně zvoleném bodě $a$ svého definičního oboru $I$ vlastní derivaci $f'(a)$ , je tím
určeno lineární zobrazení

(1) $h \mapsto f'(a)\cdot h$ ,

kde $h$ je libovolné reálné číslo. Toto zobrazení má svůj význam. Nazýváme ho diferenciálem funkce $f$
v bodě $a$ a značíme ho symbolem $\text{d}f(a)$ .

Konec definice.

Je-li $a$ pevně dáno nebo když jeho hodnota není podstatná, což u mnohých úloh bývá, je zvykem psát
pouze $\text{d}f$ .
Je-li funkce vyjádřena předpisem tvaru $y = f(x)$ , pak místo $\text{d}f$ můžeme psát $\text{d}y$ .
Jde-li navíc o funkci $y = f(x) = x$ , píšeme místo $\text{d}y$ přímo $\text{d}x$ . Z těchto úvah plynou i zápisy
tvaru
$\text{d}y = f'(a) \text{d}x$ , $f'(a) = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}(a)$ .

Tato symbolika je dílem tradice z dob, kdy se na formální náležitosti kladl menší důraz než dnes.
Pro praktické účely je však dostačující.

U funkcí více proměnných je to obdobné (ovšem přiměřeně složitější). Najdi si na webu pojem "diferenciál"
a dozvíš se více.