Matematické Fórum

Jakub09 · 09. 03. 2019 23:45

Pre prirodzené čísla a, b platí $22^{2}=a^{a}(a^{b}-b)$ . Čomu sa rovná číslo b ?
Odpoveď je 7.

Dobrý deň, chcel by som sa opýtať na postup riešenia príkladu uvedeného hore. Pokúšal som sa to logaritmovať ale to neprinieslo moc svetla do toho príkladu. Ďakujem za odpoveď.

misaH · 09. 03. 2019 23:54 — Editoval misaH (09. 03. 2019 23:56)

↑ Jakub09:

No.

ačko je určite 2 (teda aspoň myslím), lebo $22^2=2^2*11^2...$

Potom sa už to b hľadá ľahšie.

Jakub09 · 09. 03. 2019 23:58

Ďakujem pekne takto inteligentne som k tomu nepritupoval ja som išiel mechanicky. V tom asi spočíva môj pád :)

laszky · 10. 03. 2019 01:01

↑ Jakub09:

Mimochodem, rovnici $2^b-b=11^2$ lze sice vyresit "dosazovaci metodou", nebo odhadem,
lze ji ovsem vyresit i pomoci Lambertovy W-funkce, splnujici $x=W(x\mathrm{e}^x)$ :

$2^b=b+121$
$-2^{-121}=-(b+121)2^{-(b+121)}$
$-2^{-121}\ln2=-(b+121)(\ln2)\mathrm{e}^{-(b+121)\ln2}$
$W\left(-2^{-121}\ln2\right)=-(b+121)\ln2$

Takze

$b=-121-\frac{1}{\ln2}W\left(-\frac{\ln2}{2^{121}}\right)=-121-\frac{1}{\ln2}W\left(-2^7\frac{\ln2}{2^{128}}\right)=-121-\frac{1}{\ln2}W\left(-\frac{\ln2^{128}}{2^{128}}\right)=$
$=-121-\frac{1}{\ln2}W\left(\ln2^{-128}\mathrm{e}^{\ln2^{-128}}\right) = -121-\frac{1}{\ln2}\ln2^{-128} = -121+128 = 7$

Jakub09 · 11. 03. 2019 22:32

↑ laszky: Ďakujem pekne o tom som ešte nepočul. Hoci si myslím že v zadávateľ asi mal na mysli ten prvý postup tá Lambertova funkcia vyzerá zaujímavo ďakujem za rozšírenie obzoru.

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2019 23:45

Rovnica s dvoma neznámymi N

#2 09. 03. 2019 23:54 — Editoval misaH (09. 03. 2019 23:56)

Re: Rovnica s dvoma neznámymi N

#3 09. 03. 2019 23:58

Re: Rovnica s dvoma neznámymi N

#4 10. 03. 2019 01:01

Re: Rovnica s dvoma neznámymi N

#5 11. 03. 2019 22:32

Re: Rovnica s dvoma neznámymi N

Zápatí