Matematické Fórum

stuart clark · 05. 03. 2019 09:00

$\int\sqrt{\frac{(\sin x-1)(\sin x-2)}{(\sin x+1)(\sin x+2)}}dx$

jardofpr

hey ↑ stuart clark:

few points to the integral:

krakonoš

↑ jardofpr:
AHOJ.
Prosim te,muzes mi podrobneji rozepsat jeste tu druhou substituci? Kdyz dosadim za t podle tve substituce,dostavam pod odmocninou -1.
Diky.

jardofpr

ahoj ↑ krakonoš:

predstavoval som si to takto:

$t=\frac{1}{u}-2\,,\, \mathrm{d}t = -\frac{\mathrm{d}u}{u^2}$

$\int \sqrt{\frac{2-t}{2+t}}\,\frac{\mathrm{d}t}{1+t} = |\mathrm{sub.}| = \int \sqrt{u\bigg[2-\Big(\frac{1}{u}-2\Big)\bigg]}\frac{1}{1+\frac{1}{u}-2}\bigg(-\frac{\mathrm{d}u}{u^2}\bigg) =$
$= \int \sqrt{4u-1}\frac{-\mathrm{d}u}{u^2(\frac{1}{u}-1)}$

vidno to lepšie? (u je teraz z intervalu (1/3,1))

teraz keď na to pozerám asi som sa sekol s mínuskom pred výsledným integrálom

a keď sa v tom vŕtam ďalej tak zisťujem že moja výsledná primitívna funkcia zrejme nie je dobre

postup ktorý som uviedol podľa mňa vedie k cieľu ale niekde som asi urobil chybu lebo moja primitívna funkcia
striedavo rastie a klesá, ale integrovaná funkcia je stále nezáporná

keď budem mať čas sa na to pozriem ale možno to stihneš skôr :)

krakonoš

↑ jardofpr:
Diky moc.

Stale delam posledni dobou chyby,mam napsano2u-1plus 2u ,a spoctu,ze 2 a2 je 0.
Pri prechodu k treti substituci ti vypadlo minus pred cislem8,se mi zda.
Jestli jsem se nespletla,tak mi vyslo
-2arctg(w) plus 2.sqrt(3).argtgh(w/sqrt3).
Takto vypocteny integral patri intervalu -pi/2,pi/2. V opacnem pripade se musi
dat minus pred prvni integral.
Ja si ten prvni integral odvodila,ze jsem se zbavila odmocniny v citateli rozsirenim zlomku a zvolila substituci za sinus.Pak tam hraje roli signum cosinu,a to je prave to znamenko.Pri tomto postupu ale nesmi byt x rovno pi/2,abychom nedelili nulou.

stuart clark · 09. 03. 2019 09:19

Thanks ↑ jardofpr:

jardofpr · 09. 03. 2019 20:58

hey ↑ stuart clark:

I edited the original post because of a mistake, should be correct now

ahoj ↑ krakonoš:

urobil som opravu a teraz už sú priebežné integrály správne
vysvetľujem to aj v edite pôvodného príspevku ale chyba bola primárne v spätnom dosadzovaní $t\to x$
lebo som nerozdelil integrál s premennou $t$ na dva prípady ako to malo byť

skúšal som aj tvoj postup a povedal by som že pred arctan-om v tvojom riešení nebude mínus,
inak primitívna funkcia nebude nakoniec na požadovanom intervale rásť

mimo toho to vyzerá fajn, tvoj arctanh je ďalšie vyjadrenie logaritmu v mojom riešení takže to bude tiež dobre

krakonoš

↑ jardofpr:
Ahoj.
U druheho scitance ve vysledku mi ale misto odmocniny ze3 vysly dve odmocniny ze tri(odmocnina ze tri je ze substituce a ta dvojka vznikla jako6:3,kde sestka byla pred integralem po rozkladu na parcialni zlomky a trojka vznika vytknutim cisla3ze jmenovatele - integral s prom w). Jinak se shodujem.

Jinak obdivuji tvuj uhodnuty rozklad v minulem prikladu(soucty4tych mocnin sin a cos delenosoucty tretich mocnin).Ja si to musela odvodit pomoci tg a cotg.

jardofpr · 10. 03. 2019 14:31

hoj ↑ krakonoš:

tie 2 odmocniny z troch su fajn,

len by si podla mna mala mat $2\mathrm{arctan}(w) - 2\sqrt{3}\mathrm{arctanh}\frac{w}{\sqrt{3}}$ na intervale $(-\pi /2,\pi /2)$

inak ti primitivna funkcia klesá na tom intervale

ono po tých substitúciách je $w\in (3^{-\frac{1}{2}},\sqrt{3})$ tak sa dá cez taylorov rozvoj napríklad vidieť že

$\ln{(\sqrt{3}-w)-\ln{(\sqrt{3}+w})} = -2\mathrm{arctanh}\frac{w}{\sqrt{3}}$ pre w z tohto intervalu

a ďakujem :) najprv som mal samozrejme menovateľ rozložený a potom keď už vieš čo hľadáš tak to nejak ide

krakonoš · 10. 03. 2019 15:01

↑ jardofpr:
DIKY moc.
Uz to vidim.Pri rozkladu 6/sqr(w)-3 na parcialni zlomky tam fiuruje 1/2 ,takze se to zkrati.

Matematické Fórum

#1 05. 03. 2019 09:00

Trigonometric Integration

#2 07. 03. 2019 11:21 — Editoval jardofpr (09. 03. 2019 20:53)

Re: Trigonometric Integration

#3 08. 03. 2019 16:36 — Editoval krakonoš (08. 03. 2019 16:51)

Re: Trigonometric Integration

#4 08. 03. 2019 17:42 — Editoval jardofpr (08. 03. 2019 17:44)

Re: Trigonometric Integration

#5 08. 03. 2019 18:22 — Editoval krakonoš (08. 03. 2019 23:53)

Re: Trigonometric Integration

#6 09. 03. 2019 09:19

Re: Trigonometric Integration

#7 09. 03. 2019 20:58

Re: Trigonometric Integration

#8 09. 03. 2019 23:51 — Editoval krakonoš (10. 03. 2019 09:52)

Re: Trigonometric Integration

#9 10. 03. 2019 14:31

Re: Trigonometric Integration

#10 10. 03. 2019 15:01

Re: Trigonometric Integration

Zápatí