Matematické Fórum

stereo-total-music

Mějme integrál s komplexním číslem:

Pokud se koeficienty rovnají $n=m$ , tak není problém odvodit že tento integrál je roven $T$ .

Pokud se koeficienty nerovnají $n\neq m$ , tak je podle mě:
$\int\limits_0^T e^{\;i\cdot \frac{2\pi(n-m)}{T}\cdot \tau} \; d\tau = \frac{T}{2\pi i (n-m)}\cdot \left( e^{\;i\cdot \frac{2\pi(n-m)}{T}\cdot \tau} \right)_{\tau=0}^{\tau=T}$
V takovém případě by měl být tento integrál vždy nulový, ale to mi nejde odvodit. Můžete mi pomoct?

Bati · 13. 03. 2019 07:13

↑ stereo-total-music:
Funkce $x\mapsto e^x$ je $2\pi i$ periodicka, takze v te zavorce je $(1-1)$ .

krakonoš · 13. 03. 2019 10:13

Pokud n-m neni cele cislo,tak podle me integral neni nulovy.

MichalAld · 13. 03. 2019 23:15

↑ krakonoš:
To máš určitě pravdu, ale pokud vím, tak u Fourierovy řady se uvažují jen harmonické frekvence - tj. celočíselné násobky té základní.

U Fourierovy transformace, kde se uvažují všechny frekvence (a integrál se nepočítá přes periodu, ale přes celou časovou osu) - no tak tam to (podle mě) nekonverguje, ale ani nediverguje, jen to tak osciluje.

Nevím, jaké všechny triky na to mají matematikové, já znám jen to ještě přenásobit nějakou funkcí, které jde v nekonečném čase k nule, a kolem nuly je jednotková (říká se tomu okno) a případně po spočítání výsledku "s oknem" nechat tohle okno zvětšovat až k nekonečnu.

Protože běžně uváděný výsledek je nula pro m != n, a Diracův pulz pro m=n.

Možná se k němu ale došlo bez nějakého složitého počítání, prostě jen tak, že když na něj aplikujeme inverzní transformaci, dostaneme sinusové signály.

krakonoš · 14. 03. 2019 09:18

↑ MichalAld:
Ahoj.
Příklad nebyl zadán ve formě fyzikálního problému,tak jsem uvažovala čistě jenom matematicky.O n,m tam rovněž nic nebylo.

Matematické Fórum

#1 13. 03. 2019 06:01 — Editoval stereo-total-music (13. 03. 2019 06:05)

Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

#2 13. 03. 2019 07:13

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

#3 13. 03. 2019 10:13

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

#4 13. 03. 2019 23:15

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

#5 14. 03. 2019 09:18

Re: Integrál při odvození koeficientu Fourierovi série

Zápatí