Matematické Fórum

JTicTac · 16. 03. 2019 17:39

Zdravím, nevíte prosím, jak mám vypočítat tento příklad?

Kolik řešení má rovnice v intervalu ?

misaH · 16. 03. 2019 18:05 — Editoval misaH (16. 03. 2019 18:08)

↑ JTicTac:

Graficky?

O čísla nejde, len počet riešení...

Pozor na x= 90°, tam sa sinus 3x = kosínus 2x = -1.

JTicTac · 16. 03. 2019 18:20

↑ misaH: Ne, graficky ne, početně.

laszky · 16. 03. 2019 18:45 — Editoval laszky (16. 03. 2019 18:47)

↑ JTicTac:

Ahoj, protoze je

$\sin(3x)=\sin(2x)\cos(x)+\cos(2x)\sin(x)=3\sin(x)\cos^2(x)-\sin^3(x)$ a
$\cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)$ ,

staci vyresit rovnici $3\sin(x)\cos^2(x)-\sin^3(x)= \cos^2(x)-\sin^2(x)$ .

S vyuzitim $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ , ziskas kubickou rovnici pro neznamou $s=\sin(x)$

$4s^3-2s^2-3s+1=0$ , coz lze (po vynasobeni cele rovnice ctyrmi) rozlozit na soucin:

$(s-1)((4s+1)^2-5)=0$ , takze $s=1$ nebo $s=\frac{1}{4}(-1\pm\sqrt{5})$ .

Zbytek uz zvladnes sama ;-)

gadgetka · 16. 03. 2019 21:56

Zdravím, možná by to šlo i jednodušeji...
$\cos(2x)=\cos $\frac{\pi}{2}-3x$$
$2x=\frac{\pi}{2}-3x+2k\pi$

a

$\cos(2x)=\cos $3x-\frac{\pi}{2}$$
$3x-\frac{\pi}{2}=2x+2k\pi$

Ale vzhledem k tomu, že kosinus je sudá fce, řekla bych, že druhý kořen bude zahrnut v řešení první rovnice. :)

Ty pochopitelně pak vypíšeš jen ty kořeny, které vyhovují zadanému definičnímu oboru. :)

JTicTac · 17. 03. 2019 11:13

↑ laszky: aha, diky. Takze Ti vyslo, ze rovnice ma tri koreny, cili vysledek je 3? Pry ma vyjit 5...

laszky · 17. 03. 2019 11:34 — Editoval laszky (17. 03. 2019 11:35)

↑ JTicTac:

Ahoj, ne, v intervalu $(-\pi,\pi)$ ma

- rovnice $\sin x =1$ jedno reseni $x=\frac{\pi}{2}$

- rovnice $\sin x =\frac{1}{4}\bigr(-1-\sqrt{5}\bigr)$ dve reseni $x=-\frac{3\pi}{10}$ a $x=-\frac{7\pi}{10}$

- rovnice $\sin x =\frac{1}{4}\bigr(-1+\sqrt{5}\bigr)$ dve reseni $x=\frac{\pi}{10}$ a $x=\frac{9\pi}{10}$

Celkove tedy 5 reseni. Viz take postup ↑ gadgetka: