Matematické Fórum

UNO · 23. 02. 2019 14:14

Zdravím.
Mám dokázat toto tvrzení: Necht je n přirozené číslo. Mezi čísly tvaru 6n+3 existuje nekonečně mnoho druhých mocnin přirozených čísel a mezi čísly tvaru 3n+2 není žádná druhá mocnina přirozeného čísla.

Na indukci to moc nevypadá, zkoušel jsem něco sporem, ale nic moc kloudného. Mohli byste mě prosím navést jak na to?

Děkuji moc.

Al1 · 23. 02. 2019 14:34

↑ UNO:
Zdravím,

zkus si oba tvary čísel umocnit a upravit.

UNO · 24. 02. 2019 11:49

A jak s tím tenhle úkon souvisí, když těmi druhými mocninami mají být přímo čísla 6n+3 nebo 3n+2? (nebo jsem to špatně pochopil?)

Udělat to můžu:
$(6n+3)^{2}=36n^{2}+36n+9 = 9(4n^{2}+4n+1)=9(2n+1)^{2}$
$(3n+2)^{2}=9n^{2}+12n+4$

Bohužel, stále v tom nic nevidím. Můžete mě ještě navést?

laszky · 24. 02. 2019 12:50

↑ UNO:

Ahoj. $36n^{2}+36n+9 = 6(6n^2+6n+1)+3$ .

A taky plati

$(3n+2)^{2}= 3k_1+1$
$(3n+1)^{2}= 3k_2+1$
$(3n)^{2}= 3k_3$

UNO · 15. 03. 2019 14:22

S odstupem času jsem se na to podíval a pochopil, proč pro (6n+3) existuje nekonečně mnoho druhých mocnin.
Libovolnou druhou mocninu 6n+3 lze zapsat v analogickém tvaru 6k+3, kde k je přirozené číslo.

Nelze tomu tak v případě 3n+2,
$(3n+2)^{2}=9n^{2} +12n+4=3(3n^{2}+4n)+4$

Tedy druhá mocnina čísla 3n+2 již není ve tvaru 3k+2, kde by k bylo přirození číslo. Jak ale dokázat dál, že mezi 3n+2 skutečně nejsou žádné druhé mocniny? Z těch rad jsem to bohužel nepochopil.

Děkuju.

laszky · 15. 03. 2019 15:01 — Editoval laszky (15. 03. 2019 15:02)

↑ UNO:

Ahoj, libovolne prirozene cislo lze zapsat v jednom ze tri tvaru: $3n+2$ , $3n+1$ a $3n$ , kde $n\in\mathbb{N}$ .

Druhe mocniny techto cisel jsou pak

$(3n+2)^{2}= 9n^2+12n +4 = 3(3n^2+4n+1)+1 = 3k_1+1$
$(3n+1)^{2}= 9n^2+6n +1 = 3(3n^2+2n)+1 = 3k_2+1$
$(3n)^{2}= 9n^2 = 3(3n^2) = 3k_3$

Zadny z uvedenych tvaru druhych mocnin prirozenych cisel tedy neni $3k+2$ .

UNO · 15. 03. 2019 17:31

Děkuju moc. Už v tom mám jasno.

check_drummer · 16. 03. 2019 10:56

↑ UNO:
Ahoj, už je to asi vyřešeno, ale v tomto svém příspěvku jsi ta čísla umocňoval na druhou a ty máš namísto toho zkoumat, zda ony samy jsou druhé mocniny.

jarrro · 17. 03. 2019 10:53

↑ check_drummer:Ahoj. Ale pre každé prirodzené $k$ je
$$6k+3$^2=6n+3$ kde $n=6k^2+6k+1$
Teda z toho vyplýva, že medzi číslami tvaru $6n+3$ je nekonečne mocnín (stačí brať $n$ v tvare $n=6k^2+6k+1$ a takých n je zrejme nekonečne veľa)