Matematické Fórum

vendysss · 28. 05. 2009 13:59

...
$y=\sqrt{x+1}$ a $y=1-x$

Vypočítala jsem si průsečíky, tj.v X 0 a -1, ale podle obrázku mit o nějak nevychází.Nevím jak má vypadat integrál a jaké má mít meze. Děkuji

Rumburak · 28. 05. 2009 14:10

Křivky o rovnicích $y=\sqrt{x+1}$ (z jisté paraboly její část p ležící nad osou x), $y=1-x$ (přímka q) se protínají v bodě C = [0, 1].
Dalšími významnými body jsou A = [-1, 0] (průsečík p s osou x), B = [1, 0] (průsečík q s osou x),

vendysss · 28. 05. 2009 14:15

no ale grafem toho pod odmicninou není přece parabola ne?Měl by to být "kopeček" :), začínající v -1 na X a procházející 1 na Y. Takže by meze měly 1 a -1?

Rumburak

Jestliže křivku o rovnici $y=\sqrt{x+1}$ spojíme v bodě [-1, 0] s křivkou o rovnici $y=-\sqrt{x+1}$ , dostaneme
křivku, jejíž rovnice bude zahrnovat obě tyto křivky. Takovou rovnicí je $y^2 = x + 1$ , což je rovnice paraboly,
jejíž osou je osa x a vrcholem bod [-1, 0] - parabola leží v polorovině o nerovnici x > -1 .

EDIT. Meze na ose x jsou -1, 1, ale v bodě 0 se změní integreovaná funkce.

Pavel · 28. 05. 2009 14:32 — Editoval Pavel (28. 05. 2009 14:33)

↑ vendysss:

Obrazec by měl být kromě uvedených dvou funkcí omezen také osou x, aby jeho obsah nebyl nekonečný. Obrazec lze rozdělit na dva, první je omezen grafem funkce $y=\sqrt{x+1}$ a osou x na intervalu $\langle -1,0\rangle$ a druhý grafem funkce $y=1-x$ a osou x na intervalu $\langle 0,1\rangle$ . Obsahy obou dílčích obrazců lze jednoduše spočítat pomocí určitého integrálu. Načrtni si grafy obou funkcí a hned Ti bude jasné, jak ty integrály budou vypadat.

vendysss

prosím vás, bude ten obrázek vypadat nějak takhle?
http://fapomatic.com/0921/graf.jpg
tzn. $\int_{0}^{-1}(x+1)^\frac{3}{2}-1+x$

3/2, nezobrazuje se to nějak

jelena · 28. 05. 2009 15:17

↑ vendysss:

pokud to má být obrazek z původního zadání, tak (vetev paraboly orientované po ose x - to je zřejmě problém, ano?):

http://forum.matweb.cz/upload/601-ven.jpg

Také by v zadání mělo byt ještě omezení y=0 (je to tak?)

v zapisu je potreba celou mocninu do "slozenych zavorek"

...(x+1)^{\frac{3}{2}}...

ale je mi trochu záhadou, co je to, k čemu se to vztahuje - k původnímu zadání?

$\int_{0}^{-1}(x+1)^{\frac{3}{2}}-1+x$

Rumburak

↑ vendysss:
Ta parabola na Tvém obrázku má nejspíš rovnici $y = (x+1)^2$ (nebo nějakou mírně odlišnou),
ale rozhodně ne $y=\sqrt{x+1}$ . Pozorněji si přečti můj příspěvek č. 4, kde tu křivku popisuji.

EDIT. Nebo - ještě lépe - se podívej na obrázek v příspěvku od Jeleny, kde je to nakresleno správně.

vendysss · 28. 05. 2009 15:35

zadání je $y^2=x+1$ $x+y-1=0$
ano ano, s tím obrázkem od jeleny souhlasím. Takže obsah tohoto obrazce se vypočítá pomocí integrálu, horní mez je ale 1, dolní -1 $\int_{0}^{-1}(x+1)^{\frac{3}{2}}-1+x$

Pavel · 28. 05. 2009 15:47 — Editoval Pavel (28. 05. 2009 16:48)

↑ vendysss:

Ale to je přece úplně něco jiného počítat obsah omezený křivkami $y^2=x+1$ a $x+y-1=0$ , nebo křivkami $y=\sqrt{x+1}$ , $y=1-x$ a osou x.

Pokud se jedná o křivky $y^2=x+1$ a $x+y-1=0$ , doporučuji si vyjádřit proměnnou x, vypočítat průsečíky v proměnné y a integrovat rozdíl obou funkcí podle y. Tedy

$y^2=x+1\qquad\Rightarrow\qquad x=y^2-1\nl x+y-1=0\qquad\Rightarrow\qquad x=1-y$

Průsečíky:

$y^2-1=1-y\nl y^2+y-2=0\nl (y+2)(y-1)=0\nl y_1=-2,\ y_2=1.$

Obsah obraze se vypočítá integrálem

$\int_{-2}^1|y^2-1-(1-y)|\,\text{d}y$

To už nechám na Tobě.

Rumburak

↑ vendysss:
Integrál $\int_{0}^{-1}(x+1)^{\frac{3}{2}}-1+x$ nemá s úlohou nic společného.
Jestliže by platila původní varianta zadání, tj. že jde o obrazec ohraničený křivkami o rovnicích $y=\sqrt{x+1}, \,\,y=1-x, \,\, y = 0$
(poslední rovnice je rovnicí osy x), pak obsah tohoto obrazce je roven
$\int_{0}^1|y^2-1-(1-y)|\,\text{d}y$ (↑ Pavel: tam má, myslím, chybu ve znaměnku u y (?),
absolutní hodnotu je možno na integračním intervalu nahradit závorkou, EDIT : ovšem musíme správně určit znaménko před ní.

Pokud bychom chtěli integrovat dle x, bylo by to
$\int_{-1}^{0}\sqrt{x + 1}\,\text{d}x \,+\, \int_{0}^{1} (1-x)\,\text{d}x$ .
Tento výpočet je ale méně pohodlný.

Pavel · 28. 05. 2009 16:48

↑ Rumburak:

Díky za upozornění. Už jsem to opravil.

vendysss · 29. 05. 2009 14:31

děkuji vám

Matematické Fórum

#1 28. 05. 2009 13:59

Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#2 28. 05. 2009 14:10

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#3 28. 05. 2009 14:15

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#4 28. 05. 2009 14:25 — Editoval Rumburak (28. 05. 2009 14:28)

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#5 28. 05. 2009 14:32 — Editoval Pavel (28. 05. 2009 14:33)

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#6 28. 05. 2009 14:55 — Editoval vendysss (28. 05. 2009 14:57)

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#7 28. 05. 2009 15:17

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#8 28. 05. 2009 15:23 — Editoval Rumburak (28. 05. 2009 15:28)

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#9 28. 05. 2009 15:35

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#10 28. 05. 2009 15:47 — Editoval Pavel (28. 05. 2009 16:48)

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#11 28. 05. 2009 16:44 — Editoval Rumburak (28. 05. 2009 16:58)

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#12 28. 05. 2009 16:48

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

#13 29. 05. 2009 14:31

Re: Obsah obrazce ohraničeného křivkami

Zápatí