Matematické Fórum

stovikri · 22. 03. 2019 22:47

Ahoj, moc prosím o pomoc s těmito čtyřmi příklady na zjištění konvergence/divergence řád s kladnými členy, celý den si s nimi lámu hlavu... Děkuji!

Srovnávací kritérium (včetně limitního):

1)

$\sum_{n=1}^{\infty } \sqrt{n+2}-2\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$

2)

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}}{\sqrt{n}}$

3)

$\sum_{n=1}^{\infty } (1-sin(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{n}))$

Cauchyho nebo d'Alembertovo kritérum:

$\sum_{n=1}^{\infty } \frac{[(n+1)!]^n}{2!\cdot 4!\cdot \cdot \cdot (2n)!}$

krakonoš

↑ stovikri:
Ahoj.
Zkousela jsem priklad3)
Pouzila bych souctovy vzorec ,dostaneme tak radu(1-cos(1/n)).Pocinaje nejakym n se dostaneme s cosinem na okoli nuly.Na okoli nuly se chova 1-cos(x) jako xnadruhou/2,coz by nas melo dovest ke konvergentni rade.Aspon si to myslim.
U prikladu 2) jsem pouzila vzorec Anatreti-Bnatreti,nas citatel odpovida A-B.Dostaneme radu,kde v citateli bude 1,ve jmenovateli souciny mocnin.Lze prejit ke konvergentni majorante,misto n plus 1 vezmeme n.Dostaneme tak radu n na -7/6,tato majoranta konverguje podle integrániho kriteria.

Co se tyce prikladu 1) ,je splnena nutna podminka konvergence,zbytek jde k nule,vyplyva to z definice konkavnosti funkce a z vety o sevrene limite,nebo uz od pohledu,konstanty pod odmocninou zde nemaji vliv.Soucet rady se da spocist primo,kdyz rozdelime radu na soucet dvou rad a to radu sqrt( n plus2) -sqrt(n plus 1) a radu sqrt(n)-sqrt(n plus 1) a vyjadrime si castecne soucty,nasledne spocteme limitu souctu obou castecnych souctu.

U prikladu 4)bych pouzila D'Alambertovo kriterium,po uprave slozeneho zlomku dostaneme v citateli (n plus 2) umocneno na ( n plus 1) a ve jmenovateli soucin n plus 1 clenu.Podelime-li citatele i jmenovatele vyrazem v citateli,pujde pak citatel limitne k jedne,zatimco limita jmenovatele bude vetsi nez jedna.Rada by mela konvergovat.

Matematické Fórum

#1 22. 03. 2019 22:47

Konvergence/divergence řad

#2 22. 03. 2019 23:58 — Editoval krakonoš (24. 03. 2019 10:28)

Re: Konvergence/divergence řad

Zápatí