Matematické Fórum

mulder · 23. 03. 2019 08:35

Zdravím. Mám zde příklad.
Napište rovnici tečny ke kuželosečce $x^{2}+y^{2}-x-2y=0$ , které jsou kolmé na přímku $q:2x-y+6=0$ a rovnoběžné s přímkou q.
Když jsou rovnoběžné, tak jsem vytvořil dvě rovnice o dvou neznámých, kde z jedné jsem vyjádřil y=2x+c a dosadil do druhé rovnice. Vznikla mi tato rovnice $5x^{2}-5x+4xc+c^{2}-2c=0$ ale z toho neumím vypočítat diskriminant. Prosím o radu zda počítám správně.

Jj · 23. 03. 2019 10:03

↑ mulder:

Hezký den. Ano, takto lze postupovat, chybu nevidím.

Dospěl jste k výrazu $5 x^2 +(4c -5)x +(c^2 - 2c)=0$
Z jeho srovnání s obecnou kvadratickou rovnicí $ax^2+bx+C=0$ , vyplývá, že
$\; a=5, b = 4c-5, C = c^2-2c$ a můžete běžným způsobem spočítat diskriminant dosazením těchto výrazů do vzorečku $D=b^2-4aC$ .

mulder · 23. 03. 2019 10:40

↑ Jj:Výsledek diskriminantu mi vyšel $-4c^{2}+25$ a teď nevím co s tím. Když to poté dosadím do rovnice $\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{5-4c\pm \sqrt{-4c^{2}+25}}{2*5}$ a zde jsem se zasekl

Jj · 23. 03. 2019 10:57

↑ mulder:

Diskriminant vypadá v pořádku, dále už ne. V podstatě řešíte společné body zadané elipsy a přímky. Má-li být přímka tečnou, pak musí mít s elipsou pro každé 'c' právě jeden společný bod. Tato 'c' (měla by být dvě řešení - tečny rovnoběžné se zadanou přímkou jsou dvě) určíte z podmínky D = 0. Tzn. řešíte rovnici

$-4c^{2}+25=0$ pro neznámou c.

Analogicky můžete postupovat i při hledání kolmých tečen.

zdenek1 · 23. 03. 2019 10:58

↑ mulder:
Když je přímka $y=2x+c\qquad (1)$ tečna, pak tvůj diskriminant musí být nula, tj
$-4c^2+25=0$
$c=\pm\frac52$
a teď už jen dosadíš do (1)

Rumburak

↑ mulder:
Ahoj.
Přímka je tečnou kuželosečky, právě když při řešení soustavy

rovnice kuželosečky,
rovnice přímky

vznikne kvadratická rovnice, která má jeden (tzv. dvojnásobný) kořen, k čemuž je zapotřebí, aby její diskriminant byl roven nule.

mulder · 23. 03. 2019 11:06

↑ Rumburak:Teď už mi je to jasné. Děkuji všem.

mulder · 23. 03. 2019 11:13

↑ mulder:A když je to kolmé. Tak poté rovnice přímky je x+2y+c=0. To dosadím do základní rovnice a vyšlo mi: $5y^{2}-4yc+c+c^{2}=0$ Z toho jsem určil hodnoty a=5, b=-4y+1, c=1, ale diskriminant mi nevychází

Jj · 23. 03. 2019 11:59

↑ mulder:

Nene, 'y' je proměnná v kvadratické rovnici. Koeficienty viz závorky:

$(5)y^{2}-(4c)y+(c+c^{2})=0$

mulder · 23. 03. 2019 12:31

↑ Jj:Děkuji. Teď už mi to vyšlo.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2019 08:35

tečna ke kuželosečce

#2 23. 03. 2019 10:03

Re: tečna ke kuželosečce

#3 23. 03. 2019 10:40

Re: tečna ke kuželosečce

#4 23. 03. 2019 10:57

Re: tečna ke kuželosečce

#5 23. 03. 2019 10:58

Re: tečna ke kuželosečce

#6 23. 03. 2019 11:00 — Editoval Rumburak (25. 03. 2019 10:18)

Re: tečna ke kuželosečce

#7 23. 03. 2019 11:06

Re: tečna ke kuželosečce

#8 23. 03. 2019 11:13

Re: tečna ke kuželosečce

#9 23. 03. 2019 11:59

Re: tečna ke kuželosečce

#10 23. 03. 2019 12:31

Re: tečna ke kuželosečce

Zápatí