Matematické Fórum

VMF · 23. 03. 2019 14:02 — Editoval VMF (23. 03. 2019 14:04)

Zdravím,

řeším kvadratickou rovnici v komplexním oboru s proměnnou v:

$v^2 -2izv -1 = 0$

kořeny této rovnice jsou:

$iz \pm \sqrt{1-z^2}$

Příklad pokračuje dále a aby se zabránilo nejednoznačnosti, řešení se přepíše na:

$iz + \mathrm{e}^{1/2\ln (1 - z^2) }$

Vysvětlil by mi prosím někdo, jak se tímto krokem vyřeší, že v řešení rovnice jsou obě řešení s + a - ?

Děkuji za odpovědi.

Bati · 23. 03. 2019 16:33 — Editoval Bati (23. 03. 2019 16:33)

↑ VMF:
Pokud je tam $\ln$ , tak si to neodpovida, protoze napr. kdyz $z=0$ tak to druhy je $1$ . To by tam musel byt komplexni logaritmus $\text{Log}$ , protoze ten je definovan az na celoc. nasobek $2\pi i$ (protoze $\text{exp}$ je $2\pi i$ periodicka). Tudiz by to bylo definovano az na $e^{\frac12 (2k\pi i)}=\pm1$ .

VMF · 23. 03. 2019 17:18

↑ Bati:
Děkuju za odpověď.

On se výraz dále rovná $iz + \mathrm{e}^{1/2Ln|1-z^2| + i\cdot arg(1-z^2)}$

což odpovídá komplexnímu logaritmu, takže ten logaritmus je myšlen asi takto, ale stejně nerozumím, proč se tam nemusí psát dále $\pm$ ?

Bati · 23. 03. 2019 22:21

↑ VMF:
Protoze ten argument je prave urcen az na 2k pi. Dokud nezvolim nejaky konkretni interval, tak to bude mnohoznacna funkce.

https://en.wikipedia.org/wiki/Branch_po … ce_log.svg

Je to stejny, jako kdybys vzal treba sinus - to je 2pi per. funkce, takze abych definoval inverzi arkussinus, omezim se na interval (-pi,pi]. Kdyz to neudelam, dostanu mnohoznacnou funkci.

VMF · 24. 03. 2019 14:20

↑ Bati:

Ach jasně, už rozumím!

Děkuju za objasnění.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2019 14:02 — Editoval VMF (23. 03. 2019 14:04)

Kvadratická rovnice v C, řešení vyjádřené pomocí ln

#2 23. 03. 2019 16:33 — Editoval Bati (23. 03. 2019 16:33)

Re: Kvadratická rovnice v C, řešení vyjádřené pomocí ln

#3 23. 03. 2019 17:18

Re: Kvadratická rovnice v C, řešení vyjádřené pomocí ln

#4 23. 03. 2019 22:21

Re: Kvadratická rovnice v C, řešení vyjádřené pomocí ln

#5 24. 03. 2019 14:20

Re: Kvadratická rovnice v C, řešení vyjádřené pomocí ln

Zápatí