Matematické Fórum

Roscelinius · 26. 03. 2019 17:02

Dobrý den,
je li báze duálního vektorového prostoru $(e^{i})$ indukovaná bází $(e_{j})$ definována vztahem $e^{i} (e_{j})=\delta ^{i}_{j}$ , znamená to, že k ortonormální bázi $(e_{j})=diag (1,1,1,...,1)$ má báze duálního prostoru stejné prvky a tedy složky (souřadnice) vektoru a kovektoru jsou stejné?
Díky.
Petr

Andrejka3 · 26. 03. 2019 17:54

Ahoj.
Duální baze nemůže mít stejné prvky. Jedno jsou vektory a druhé formy.

složky (souřadnice) vektoru a kovektoru jsou stejné?

Jak se definuje kovektor k danému vektoru?

Roscelinius · 26. 03. 2019 21:03

Neřeším jak jsou prvky uspořádané, ale jen že by měli být stejné, aby platila definice duální báze přes Kroneckerovo delta. Jaká je tedy duální báze k bázi $e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}= (0,0,1)$ ? Není stejná akorát každý bázový vektor je transponovaný?To samé tedy i pro složky (souřadnice)? To jestli píšeme vektory do řádku nebo do sloupce je jen otázkou konvence a definice skalárního součinu, ne? Nejsou kontravariantní a k nim duální kovariantní tenzory, tedy např. lineární formy a vektory, stejnými invariantními objekty jen v jiných bázích?

Andrejka3

Takže vektory zapisujete asi takhle
$u=\begin{pmatrix} u^1&u^2&u^3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e_1\\e_2\\e_3 \end{pmatrix}$
a formy
$f=\begin{pmatrix} e^1&e^2&e^3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_1\\f_2\\f_3 \end{pmatrix}$
tak, aby $f(u) = \begin{pmatrix} u^1&u^2&u^3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} f_1\\f_2\\f_3 \end{pmatrix}$ .
Pak přiřadit $\begin{pmatrix} u^1&u^2&u^3 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} u_1\\u_2\\u_3 \end{pmatrix}$
znamená buďto použít přirozený izomorfismus prostoru a jeho duálu $e_i\mapsto e^i$ , nebo využít nějakého skalárního součinu $u\mapsto u\cdot$ . Druhý pohled se shoduje s prvním, když jsi v ON bazi.
No a víc asi ze mě nedostaneš, protože mluvíme jiným jazykem, tak snad někdo jiný pomůže.

laszky · 26. 03. 2019 22:03

↑ Roscelinius:

Ahoj, jestli si dobre pamatuju tak k bazi $B=\{\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\}=\{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$ je dualni baze $B'$ tvorena linearnimi formami
$B'=\{f_1,f_2,f_3\}$ , kde $f_i(x_1,x_2,x_3)=x_i$ . Souradnice kazde z bazovych forem vzhledem k bazi $B'$ jsou pak samozrejme $[f_i]_{B'}=\vec{e}_i$ .

Myslim, ze (zvlaste) fyzikove radi pouzivaji zkratku a vynechavaji fakt, ze se jedna o souradnice vzhledem k bazi.

Na druhou stranu lze jejich pocinani opodstatnit pouzitim Rieszovy vety o reprezentaci funkcionalu:
Kazdou linearni formu $f\in V'$ lze totiz jednoznacne reprezentovat prvkem $\vec{x}_f\in V$ tak, ze $f(\vec{x})=\langle \vec{x}_f,\vec{x}\rangle$ . Namisto $f$ tedy staci pocitat s $\vec{x}_f$ .
Pro linearni formy $f_1,f_2,f_3$ pak tedy plati $f_i(\vec{x})=\langle\vec{e}_i,\vec{x}\rangle$ .

Bati · 26. 03. 2019 22:07

Riezsova veta zde neni potreba- jsme jen v konecne dimenzi. Vsechny spojite funkcionaly na R^n se daji reprezentovat pomoci vektoru, pricemz dualita je reprezentovana skalanim soucinem. Pro tvou konkretni (kanonickou) bazi samozrejme dostanes tu samou bazi dualniho prostoru, ponevadz $e_i\cdot e_j=1$ prave kdyz $i=j$ .

Roscelinius · 27. 03. 2019 07:28

Sice asi ukážu, že jsem toho ještě hodně nepochopil, ale jaký má smysl zavádět lineární formy, když vždy mohu v konečných prostorech nalézt ortonormální bázi, která je stejná jak ta k ní duální? Proč nejde vnější algebra vystavět na vektorech? Díky

vanok · 27. 03. 2019 15:22

Ahoj ↑ Roscelinius:,
Poznamka.
Mozno tu najdes dalsie uzitocne informacie

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Dual_basis

https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Base_duale

Andrejka3 · 27. 03. 2019 15:23

↑ Roscelinius:
Když se o tom nebude mluvit, neznamená to, že to tam nebude. Podle mě je občas třeba znát hodnotu skalárního součinu dvou vektorů (číslo) a to někdy představuje důležitý fyzikální invariant (co si matně vybavuju). Ale skalární součin sám o sobě je bilineární forma a když už se mu dá jeden vektor a čeká na druhý, jedná se o lineární formu.

Ve fyzice jsou fajn odpovídatelé, kteří rádi píší o str lidem, kteří nejsou lidoví myslitelé. Třeba by stálo za to se ptát tam.

vanok · 27. 03. 2019 17:37

Ahoj ↑ Roscelinius:,
Len tak pre zaujimavost:
Dokazes najst dualnu bazu tejto
e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 0, −1) a e3 = (0, 1, 1).

MichalAld · 27. 03. 2019 17:43

Roscelinius napsal(a):
Sice asi ukážu, že jsem toho ještě hodně nepochopil, ale jaký má smysl zavádět lineární formy, když vždy mohu v konečných prostorech nalézt ortonormální bázi, která je stejná jak ta k ní duální? Proč nejde vnější algebra vystavět na vektorech? Díky

Já si nejsem úplně jistý, jestli to, co tu řešíte je přesně to, co mám na mysli já - totiž kontravariantní a kovariantní vektory, ale přijde mi, že je to to samé.

No a - ono by to asi velký smysl nemělo, zavádět tyhle dva druhy vektorů, kdybychom počítali jen v euklidovských prostorech (s jednotkovou metrikou). Ale význam to získá v prostorech obecnějších.

Například když budeme používat jiné druhy souřadnic - třeba polární, sféricky atd... Potom už musíme rozlišovat, jestli je daný vektor kontravariantní nebo kovariantní - ony se jinak mění při změně souřadnic.

Pokud třeba máme parametrickou rovnici nějaké čáry (trajektorie) v prostoru, tj funkce $r = r(t), \varphi = \varphi(t)$ , tak vektor rychlosti $\frac{d(r,\varphi)}{dt}$ je kontravariantním vektorem.

Pokud naopak budeme mít vektor vytvořený jako gradient nějaké skalární funkce $\nabla_{r,\varphi} V(r,\varphi)$ , tak je tento vektor kovariantní.

Pokud bychom třeba jen měnili měřítka os (osy r, u $\varphi$ to moc nejde), bude se jeden z vektorů zvětšovat, a druhý zmenšovat.

Pokud už máme vektor jako 2 (3, 4, ...) čísla, tak už to nepoznáme, jestli je to kontravariantní nebo kovariantní. Musíme to vědět předtím, musíme vědět, jak jsme vektor vytvořili nebo definovali.

Další použití těchto věcí je samozřejmě v zakřivených, neeuklidovských prostorech (tenzory na varietě) - tam se křivočarým souřadnicím nevyhneme. A tento aparát využívá obecná teorie relativity.

Pravda je, když nad tím tak přemýším, že vlastně nevím, zdali je třeba intenzita elektrického pole E kontravariantní nebo kovariantní vektor. Nikdy jsem Maxwellovy rovnice v polárních souřadnicích neřešil...

MichalAld · 27. 03. 2019 17:57

Totiž - v kartézských souřadnicích se nemusíme příliš starat o to, že pro vektor potřebujeme bázi vektorového prostoru zatímco pro souřadnici bodu, ve kterém se ten vektor nachází, vlastně ani žádnou bázi nepotřebujeme.

Když máme osy X, Y, Z tak je považujeme za bázi všech vektorů, co se v tom prostoru nacházejí, a zároveň za "bázi" všech bodů, co tam jsou. Je to tak samozřejmé, že se nad tím skoro nikdo ani nezamyslí.

Jenže u křivočarých souřadnic musíme zavést bázi pro vektory tak, aby byla v každém bodě "tečná k souřadným osám", tj např. k $r, \varphi$ u polárních souřadnic. Báze se tak bod od bodu mění ("zvětšuje", "otáčí", "svírá"), a to se nám samozřejmě projeví, pokud podle takovýchto souřadnic derivujeme.

A proto potřebujeme dva druhy vektorů - jedny které se chovají jako souřadnice, a druhé, které se chovají jako derivace podle těchto souřadnic.

Ale jinak - na tohle nejsem žádný odborník, tak to berte s rezervou...

MichalAld · 27. 03. 2019 18:10

Jestli tomu dobře rozumím (což v tomto případě vůbec nemusí být pravda)...

Byla tu zmínka o skalárním součinu. Skalární součin dvou vektorů musí vyjít stejný bez ohledu na to, v jakých souřadnicích vektory reprezentujeme. Skalární součin je skalár, jeho velikost závisí jen na poloze v prostoru. Je to jen číslo.

Pokud tedy máme dva vektory v kartézských souřadnicích, a ty samé vektory vyjádřené třeba v polárních souřadnicích, musí jejich skalární součin vyjít stejný. Proto můžeme dělat skalární součin "napřímo" jen mezi kontravariantním a kovariantním vektorem, a jinak do toho musíme vložit ještě metrický tenzor. Aspoň teda myslím, že to tak je.

Z čehož také plyne, že né každé číslo "umístěné do prostoru" musí být nutně skalárem. Například jedna ze souřadnic vektoru není sama skalárem.

Roscelinius · 27. 03. 2019 18:23

↑ vanok:
Řekl bych, že je to $e^{1}=(1,-1,1), e^{2}=(0,1,-1),e^{3}=(-1,2,-1)$ .

vanok · 27. 03. 2019 20:43 — Editoval vanok (28. 03. 2019 05:36)

Ahoj ↑ Roscelinius:,
Ano je to tak....ale transpozovane.
Spomienky na kovariantne vektory a kontravariantne mam z master (mecaniky) a iste ste to videli ako <| ...... |> ( to sa cita: bra.....ket). Myslim si ze sa to vidi aj v kvantovej fyzike.

V podstate ide o oznacenia...

Co sa tyka vseobecne takych problemov. Sluzia v matematike na suvisi medzi morfizmamy a ich transpozovanych. Ako aj väzby medzi podpriestormy a ich otrogonalnymi. Podobne aj medzi jadrami a obrazmi. .... tiez treba dobre vediet pouzivat dualitu. ( ako napr aj pojem diiferencialu realnej funkcie). Napada ma v rychlosti napr. ze pojem urciteho integralu, ci Lagrangeovych polynomov ... lin. formy.
Uzitocne je si prestudovat aspon odkazy co som napisal vyssie . A pochopitelne kazdy, co ma pouzivat taketo pojmy, by mal si prestudovat $$$$ linearnu algèbru na dostatocnej urovni.
( poznamka: tu som hovoril len o konecnej dim. )

Matematické Fórum

#1 26. 03. 2019 17:02

Báze duálního prostoru

#2 26. 03. 2019 17:54

Re: Báze duálního prostoru

#3 26. 03. 2019 21:03

Re: Báze duálního prostoru

#4 26. 03. 2019 21:49 — Editoval Andrejka3 (26. 03. 2019 21:52)

Re: Báze duálního prostoru

#5 26. 03. 2019 22:03

Re: Báze duálního prostoru

#6 26. 03. 2019 22:07

Re: Báze duálního prostoru

#7 27. 03. 2019 07:28

Re: Báze duálního prostoru

#8 27. 03. 2019 15:22

Re: Báze duálního prostoru

#9 27. 03. 2019 15:23

Re: Báze duálního prostoru

#10 27. 03. 2019 17:37

Re: Báze duálního prostoru

#11 27. 03. 2019 17:43

Re: Báze duálního prostoru

Roscelinius napsal(a):

#12 27. 03. 2019 17:57

Re: Báze duálního prostoru

#13 27. 03. 2019 18:10

Re: Báze duálního prostoru

#14 27. 03. 2019 18:23

Re: Báze duálního prostoru

#15 27. 03. 2019 20:43 — Editoval vanok (28. 03. 2019 05:36)

Re: Báze duálního prostoru

Zápatí