Matematické Fórum

VMF · 27. 03. 2019 19:14

Zdravím,

řešil jsem integrál

$\int_{}^{}\sqrt{\frac{1}{x^2 -1}} dx$

předtím než jsem si uvědomil, že v reálném oboru můžu výraz pod odmocninu zaměnit a vyšel by z toho tabulkový integrál na arcsinx, tak jsem ho přes substituci vypočítal a vyšlo mi:

$\ln |\sqrt{x^2 - 1} + x| + C$

dále jsem měl vypočítat hodnotu této funkce v bodě 0, ale v reálném oboru, tak mi vycházela záporná odmocnina a já nemohl pokračovat dále.

Moje otázka zní, jak vlastně souvisí tedy takto vyjádřená funkce v logaritmu s funkcí arcsinx? Existuje nějaký převodní vztah? Po krátkém pátrání jsem našel spojitost funkce arcsinx s funkcí
$-iLn(ix + \sqrt{1 - x^2}$ , ale ta je v komplexním oboru. Jak ted spolu tyto funkce souvisí?

Děkuji za odpovědi!

krakonoš · 27. 03. 2019 19:51

↑ VMF:

Zdravim.Primitivni funkci je v tomto pripade primo funkce argcosh x

VMF · 27. 03. 2019 20:05

↑ krakonoš:

Děkuju za reakci.

Šlo by najít přímo spojitost s tou funkcí arcsinx? Například přes komplexní obor. Protože i když bych věděl, že primitivní funkce je tedy argcoshx, tak její hodnota v bodě 0 je $i \frac{\pi }{2}$ , a to neodpovídá hodnotě funkce arcsinx, která je primitivní funkcí integrálu. Můžu si například říct, že hodnota funkce argcoshx a tedy i výše přirozeného logaritmu v 0 je tedy $i \frac{\pi }{2}$ , což je komplexní číslo o reálné složce 0 a tedy rovnou napsat, že v reálném oboru je argcosh(0) = 0, pokud původní integrál počítám v reálném oboru ?

VMF · 27. 03. 2019 20:26

[re]p584580|krakonoš[/r]

Dodatek:

Také mě mate to, že vím, že primitivní funkce integrálu je arcsinx, ale také i výše zmíněný logaritmus nebo argcoshx, ale tyto funkce mají úplně jiný průběh. Jak je to tedy možné, že lze integrál vypočítat dvěma způsoby, ale dostanu se na dvě úplně odlišné funkce (zatím tedy odlišné pro mě)?

krakonoš · 27. 03. 2019 20:55

↑ VMF:
arccos x je -i ln(x plus odmocnina)
arcsin je pi/2-arccos x pouze pro x v abs hodnote mensi nebo rovno 1

jardofpr · 27. 03. 2019 23:18

Ahojte

↑ VMF:

len by som opravil, arcsin x nemôže byť primitívnou funkciou v danom cvičení,
integrand nie je definovaný pre $x\in [-1,1]$ čo je práve definičný obor arcsin funkcie keď sa bavíme o reálnom obore

primitívna funkcia a integrand by mali zdieľať definičný obor
takisto počítať hodnotu funkcie v bode v ktorom nie je definovaná nemá zmysel

čo sa týka vzťahu arccosh a uvedeného logaritmu v reálnom obore, dá sa napr.

$\mathrm{arccosh}{x} = y$ dáva $x = \cosh{y} = \frac{e^y+e^{-y}}{2}$

čo vedie ku kvadratickej rovnici $(\mathrm{e}^y)^2-2x\mathrm{e}^y+1 = 0$ s koreňmi $\mathrm{e}^y=x\pm \sqrt{x^2-1}$ $(\star)$

$\cosh{x}$ ako funkcia ktorá nie je prostá na svojom definičnom obore nemôže mať priamy inverz,
treba rozdeliť na dve časti, štandardne sa berie $\mathrm{arccosh}{x}$ ako inverz pre $\cosh{x}$ kde $x>0$
čo zodpovedá voľbe $+$ vo vzťahu $(\star)$ , čo dáva $\mathrm{arccosh}{x} = \ln{(x+\sqrt{x^2-1})}$
pri voľbe $-$ naopak príde k reflexii okolo osi $x$

vzťah $\mathrm{arcsin}{x} = -i\ln{(ix + \sqrt{1 - x^2})}$ pre reálne $x\in[-1,1]$ sa dá ukázať podobne,
len použiješ exponenciálnu formuláciu pre funkciu sínus, ale toto nesúvisí s tvojim pôvodným integrálom

VMF · 28. 03. 2019 00:08

↑ jardofpr:

Ahoj, diky moc za tak obsahly prispevek.

Ten integral jsme resili tak, ze jsme zamenili x^2 a -1, tedy vznikl vyraz 1 - x^2 pod odmocninou, coz je derivace arcsin,
definicny obor je tedy cela R, krome nuly, ale stejne nerozumim, jak se muze jen tak vyraz pod odmocninou prohodit, to uz by musel byt od zacatku definovan jen pro interval (-1,1) takto nam to ukazovali ve skole, integral byl soucasti separovatelne diferencialni rovnice.

To co jsi napsal v poslednim odstavci jsem presne hledal, takze, jeste jednou diky za objasneni.

jardofpr · 28. 03. 2019 08:24

ahoj

VMF napsal(a):
Ten integral jsme resili tak, ze jsme zamenili x^2 a -1, tedy vznikl vyraz 1 - x^2 pod odmocninou, coz je derivace arcsin,
definicny obor je tedy cela R, krome nuly

toto celé nedáva zmysel, nejde len tak "zameniť" $\sqrt{x^2-1}$ a $\sqrt{1-x^2}$
a po "zámene" by aj tak nebol definičný obor celé $\mathbb{R}$

možno že ste dostali pre dif.rovnicu riešenie s rozličným predpisom na viacerých intervaloch?
a to ste potom riešili na každom intervale zvlášť, ale to len hádam
inak ako vravím nedáva zmysel tá zámena

VMF · 28. 03. 2019 09:20

↑ jardofpr:

Mně to také nedává takto smysl, celá rovnice vypadala takto:
$y' = \sqrt{\frac{y^2 - 1}{x^2 - 1}}$
takto se výraz pod odmocninou může prohodit a následně vypočítat integrál jako arcsin, ale nerozumím tomu, že když tuto variantu nezvolím s tou výměnou a vypočítám rovnici a vyjde mi výraz s logaritmem, tak to jsou přeci dvě odlišné funkce, se kterými se dále musí pracovat jinak, například právě nespočítám hodnotu v 0, protože tam není funkce definována

krakonoš · 28. 03. 2019 10:09

↑ VMF:
Ahoj.
Tady bych si typla,ze ale to prohozeni jmenovatele souvisi zaroven s prohozenim citatele.A pak by se asi vyrazy s y daly na jednu stranu a vyrazy s x na opacnou stranu rovnice a resilo se to jako dif rovnice se separovanymi promennymi.To je jen muj nazor na vec.To ma ale jinou logiku,nez jsi puvodne tvrdil

jardofpr · 28. 03. 2019 10:17

↑ VMF:

no, tak toto myslíš zámenou (niečo iné ako vyplýva z predošlých príspevkov)

pri zbežnom pohľade na rovnicu by si mal mať ešte pred separáciou 2 sady podmienok,

buď $(x^2-1 > 0 )\,\wedge \,(y^2-1\geq 0)$ alebo $(x^2-1 < 0)\, \wedge (y^2-1 \leq 0)$

prvý prípad čo vedie na logaritmus riešiš pre $x\in\mathbb{R}\setminus [-1,1]$

druhý prípad čo vedie na arcsin riešiš pre $x\in (-1,1)$

rozumieme si?

VMF · 28. 03. 2019 12:29

↑ jardofpr:

Tímto jsi mi to úplně objasnil, díky moc za příspěvky!

Pomotaly se mi ty podmínky, když jsem to řešil poprvé, proto jsem hledal celou dobu spojitost mezi přirozeným logaritmem a arcsin, ale neuvědomil jsem si, že se vzájemně vylučují definiční obory, proto nalézt tu spojitost (myšleno obrazně mezi funkcemi) ani není možné.

Matematické Fórum

#1 27. 03. 2019 19:14

Přirozený logaritmus a arcsin

#2 27. 03. 2019 19:51

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#3 27. 03. 2019 20:05

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#4 27. 03. 2019 20:26

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#5 27. 03. 2019 20:55

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#6 27. 03. 2019 23:18

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#7 28. 03. 2019 00:08

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#8 28. 03. 2019 08:24

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

VMF napsal(a):

#9 28. 03. 2019 09:20

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#10 28. 03. 2019 10:09

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#11 28. 03. 2019 10:17

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

#12 28. 03. 2019 12:29

Re: Přirozený logaritmus a arcsin

Zápatí