Matematické Fórum

check_drummer · 20. 03. 2019 08:58

Ahoj. Ve svých poznámkách jsem našel toto: Pro trojúhelník X označme T(X) trojúhelník, jehož vrcholy jsou paty výšek trojúhelníka X. Dokažte nebo vyvraťte, že pro ostroúhlý trojúhelník X je X podobný trojúhelníku T(T(X)). (V poznámkách mám napsáno, že by to mělo platit, ale na první pohled mi to přijde jako poněkud odvážné tvrzení.)

Stýv · 20. 03. 2019 10:01

Zkusil jsem si to nakreslit v geogebře a jestli jsem něco nepopletl, tak to rozhodně neplatí.

check_drummer · 20. 03. 2019 23:08

↑ Stýv:
Ahoj, můžeš sem prosím dát ten obrázek? Díky.

Stýv · 21. 03. 2019 00:36

↑ check_drummer: Nemůžu, neukládal jsem to. Ale to si naklikáš hned.

Andrejka3

↑ Stýv:↑ check_drummer:
Jsem to zkusila:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-03/96126_TTX.png
Kdybych to konstruovala algebraicky nebo v geogebře, mohla bych měnit parametry, takhle mám smůlu...
Jsem zvědavá, co se ještě najde v Tvých poznámkách.
Mějme tři nekolineární body. Kolik trojúhelníků existuje, pro něž jsou tyto body patami výšek?

check_drummer · 21. 03. 2019 21:18

↑ Andrejka3:
Ahoj, takže se zdá, že ten světle zelený trojúhelník je tupoúhlý - a tudíž nepodobný tomu původnímu? Mně připadá, že mu docela podobný je, ale asi ne v tom smyslu, jak je podobnost v geometrii definovaná. :-) No ještě jsem v poznámkách našel třeba jedno téma, které jsem zadal do sekce "Diskrétní matematika".
Pak jsem tam našel ještě pozmánku o tom, že moje dcera neuměla lézt dopředu, ale jen dozadu a nebo se uměla otáčet kolem svislé osy - a přesto tedy byla schopna složením těchto pohybů dospět do kýženého cíle. :-)

Andrejka3 · 22. 03. 2019 00:28

↑ check_drummer:
Snad dceři vydrželo matematické nadání :D
Poznámku z diskrétky jsem viděla, ale nemám zrovna diskrétní grafové období.

vanok · 23. 03. 2019 16:03

Poznamka pre ↑ check_drummer:.
Mozno v tvojich poznamkach ste hovorili o tejto vlasnosti ortickeho trojuholnika.( tak sa vola T(X) pre X).

Orticky trojuholnik trojuholnika ABC a trojuholnik vytvoreny dotycnicamy v bodoch A, B, C
opisanej kruznici trojuholnika ABC maju rovnobezne strany.

(Vysetrovat vlasnosti orthickych trojuholnikov je zaujimave, no teraz k tomu mladi ludia nie su k tomu vedeni.)

check_drummer

Tak nechci snižovat kvalitu grafických nástrojů 21. století, ale předveďme něco málo logické dedukce z Eukleidových dob:
Z výpočtu obsahu trojúhelníku plyne, že $\frac12 a \cdot v_a = \frac12 b \cdot v_b$ , tj. $\frac{a}{b}=\frac{v_b}{v_a}$ (a podobně pro ostatní poměry stran). A pokud označíme jako $u_x$ výšku v trojúhelníku T(T(X)) na stranu $v_x$ , tak podobně jako v předchozím případě odvodíme, že $\frac{v_a}{v_b}=\frac{u_b}{u_a}$ , což tedy spolu s první rovností dává $\frac{a}{b}=\frac{u_a}{u_b}$ (a podobně pro poměry ostatních stran). Z čehož tedy plyne, že trojúhelníky X a T(T(X)) jsou si podobné.

Andrejka3 · 01. 04. 2019 23:58

↑ check_drummer:
To jsou ale trojúhelníky, jejichž strany mají délky výšek původního trojúhelníku. Ty jsi chtěl spojit paty výšek.

check_drummer

↑ Andrejka3:
No jo, zapomněl jsem jedno pro druhé, pardon.
Tak možná jsem si tu poznáku udělal špatně a měl jsem mysli trojúhelník se stranami tvořenými výškami... :-)

Andrejka3 · 02. 04. 2019 00:23

Ale je to pěkný důkaz.

vanok · 02. 04. 2019 01:59 — Editoval vanok (02. 04. 2019 05:13)

Pozdravujem ↑ Andrejka3:, ↑ check_drummer:,
Tu https://www.hevs.ch/media/document/0/20 … angles.pdf na strane 2 a 3 su citovane niektore zaujimave vysledoky, (strana. 2. 4ty §) tykajuce sa tvojich iterovanych ortickych trojuholnikov.
A uz posledny vysledok, toho §, je ze ta iteracia konverguje k limitnemu bodu, ktoreho suradnice sa daju vyjadrit pomocou vrcholov daneho trojuholnika sa mi zda velmi pekny.
No precitajte si aj dalsie riadky tykajuce sa tejto situacii v tomto clanku.

A iste vas zaujme vsetkych 7 stran tohto clanku, ktory je zjednodusena forma jeho prace o niektorych iteraciach trojuholnika.... a potom vas to da chut prehlbit taketo vyskumy.

Dokazali ste vylustit to citanie?

Andrejka3 · 02. 04. 2019 17:37

↑ vanok:
Na jednotlivosti na fóru se ráda podívám, ale momentálně nemám chuť na systematičtější průzkum vlastností trojúhelníků.

vanok · 03. 04. 2019 11:18 — Editoval vanok (03. 04. 2019 11:18)

Ahoj ↑ check_drummer:,↑ Andrejka3:,
Ako sme mohli konstatovat, iteracia ortickych trojuholnikov vytvori vseobecne chaos.

No vsak, taketo trojuholniky http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680/Adc … oject9.htm
nam umoznia dokazat

Given a triangle ∆ABC and a pedal point P interior to ∆ABC, the third
iterated pedal triangle to ∆ABC is similar to ∆ABC.

Mozte to skusit dokazat, a potom skontrolovat vas dokaz na Webe.

Matematické Fórum

#1 20. 03. 2019 08:58

Podobnost trojúhelníků

#2 20. 03. 2019 10:01

Re: Podobnost trojúhelníků

#3 20. 03. 2019 20:57 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Nepozorne citanie otazky

#4 20. 03. 2019 23:08

Re: Podobnost trojúhelníků

#5 21. 03. 2019 00:36

Re: Podobnost trojúhelníků

#6 21. 03. 2019 20:22 — Editoval Andrejka3 (21. 03. 2019 20:24)

Re: Podobnost trojúhelníků

#7 21. 03. 2019 21:18

Re: Podobnost trojúhelníků

#8 22. 03. 2019 00:28

Re: Podobnost trojúhelníků

#9 23. 03. 2019 16:03

Re: Podobnost trojúhelníků

#10 01. 04. 2019 23:14 — Editoval check_drummer (01. 04. 2019 23:18)

Re: Podobnost trojúhelníků

#11 01. 04. 2019 23:58

Re: Podobnost trojúhelníků

#12 02. 04. 2019 00:07 — Editoval check_drummer (02. 04. 2019 00:09)

Re: Podobnost trojúhelníků

#13 02. 04. 2019 00:23

Re: Podobnost trojúhelníků

#14 02. 04. 2019 01:59 — Editoval vanok (02. 04. 2019 05:13)

Re: Podobnost trojúhelníků

#15 02. 04. 2019 17:37

Re: Podobnost trojúhelníků

#16 03. 04. 2019 11:18 — Editoval vanok (03. 04. 2019 11:18)

Re: Podobnost trojúhelníků

Zápatí