Matematické Fórum

vanok · 16. 01. 2019 15:37 — Editoval vanok (16. 01. 2019 16:05)

Dalsi konkretny priklad su matice rotacii $A,B$ ktore sa pisu takto
$A= \begin {pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta &\cos \theta \end {pmatrix}$ a podobne aj matica $B$
Co viete o nich?

vanok · 02. 02. 2019 00:26 — Editoval vanok (03. 02. 2019 22:08)

Ako vidim predosle uvahysu vsetkym jasne.

Tak teraz si pohovorme o ortogonalnych maticach.
Definicia 1.
Nech $E$ je euklodivsky priestor.
Oznacme jeho scalarny sucin $<|>$ a jeho asociovanu normu $||.||$ .
Povieme, ze realna matica $M$ je ortogonalna ak $M^T.M=I$ . Mnozinu takych matic oznacime $O_n(\Bbb R)$ .
Co viete o takych maticach?

vanok · 02. 02. 2019 23:57 — Editoval vanok (02. 02. 2019 23:59)

Pokracovanie.
Poznamky:
Lahko ukazeme, ze mame
tiez $M.M^T=I$ ;
tiez, ze $O_n(\Bbb R)$ tvori nasobiacu grupu.
Tiez vektory stlpce takejto matice tvoria ortonormalnu “rodinu” v $\Bbb R^n$ z klasickym skalarnym sucinom.Konkretne ak jej stlpce su $v_1;...v_n$ vyjadrene v standardnej (kanonickej) bazi, tak $(v_1;...;v_n)$ je ortonormalna baza priestoru $\Bbb R^n$ .
Tiez determinant matice $M$ je 1 alebo -1.
V pripade, ked je 1, taketo matice tvoria podgrupu $OS_n(\Bbb R)$ ( povieme specialna ortogonalna grupa....) grupy $O_n(\Bbb R)$ .

vanok · 05. 04. 2019 09:07 — Editoval vanok (05. 04. 2019 19:29)

WOzaj, v #103 som pripomenul, ze

Kazda ortogonalna matica ma jej determinant rovny 1 alebo -1

Dokaz je jednoduchy.
Niekto to tu skusi?

vanok · 07. 04. 2019 17:46 — Editoval vanok (07. 04. 2019 17:48)

Tak ten dokaz.

Mame $M.M^t=I_n$ , a tak
$1=\det (I_n)=\det (M.M^t)=\det (M). \det(M^t)=(\det(M))^2$
A tak mame vetu zo#104.

Pozor reciprocna veta neplati.

Matematické Fórum

#101 16. 01. 2019 15:37 — Editoval vanok (16. 01. 2019 16:05)

Re: Realne matice

#102 02. 02. 2019 00:26 — Editoval vanok (03. 02. 2019 22:08)

Re: Realne matice

#103 02. 02. 2019 23:57 — Editoval vanok (02. 02. 2019 23:59)

Re: Realne matice

#104 05. 04. 2019 09:07 — Editoval vanok (05. 04. 2019 19:29)

Re: Realne matice

#105 07. 04. 2019 17:46 — Editoval vanok (07. 04. 2019 17:48)

Re: Realne matice

Zápatí