Matematické Fórum

Heyli · 10. 04. 2019 13:21

Ahoj, mám zde problém s důkazem spojitosti funkcionálu $F: V \to R$ kde $V=W_{0}^{1,2}(I)$ s normou $\left \| x\right \|_{W_{0}^{1,2}}=\left ( \int_{0}^{1}\left | x \right |^{2}+\left | {x}' \right |^{2} d\sigma\right )^{\frac{1}{2}}$
$F(x)=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left ({x}' \right )^{2}-\sigma xd\sigma$ , chtěl jsem na to jít přes důkaz omezenosti, ale to jde použít pouze u lineárních funkcionálů, zde nevím, jakou podmínku použít, nebo jak postupovat.
Dokázal by mi někdo poradit, nebo alespoň nasměrovat správným směrem?
Děkuji

Rumburak

↑ Heyli:

Ahoj.

Jako jedinou možnost vidím jít na to přes definici spojitosti funkcionálu.

Ten předpis

$F(x)=\int_{0}^{1}\frac{1}{2}\left ({x}' \right )^{2}-\sigma xd\sigma$

se mi jeví jako ne zcela v pořádku po stránce formální. Odhaduji, že by nejspíš měl mít tvar

$F(x)=\int_{0}^{1}$\frac{1}{2}\left (x'(\sigma)\right )^{2}-\sigma x(\sigma)$ d\sigma$ .

Při důkazu spojitosti půjde o to vhodně porovnat výraz $|F(x) - F(y)|$ s výrazem $||x - y||$ .

Bati · 10. 04. 2019 15:12

↑ Heyli:
Pro odhad $|F(x)-F(y)|$ staci pouzit trojuhelnikovou nerovnost ve tvaru
$||a|^2-|b|^2|=|(|a|+|b|)(|a|-|b|)|\leq(|a|+|b|)|a-b|$ a Holderovu nerovnost

Matematické Fórum

#1 10. 04. 2019 13:21

Spojitost funkcionálu

#2 10. 04. 2019 14:54 — Editoval Rumburak (10. 04. 2019 15:27)

Re: Spojitost funkcionálu

#3 10. 04. 2019 15:12

Re: Spojitost funkcionálu

Zápatí