Matematické Fórum

K-tan · 11. 04. 2019 15:53

Z definice Macdonaldovy funkce : $x^{a}K_{a}(x)=2^{a-1}\int_0^\infty t^{a-1}e^{-t-(x^{2}/4t)}\mathrm{d}t$
, dokaž, že $K_{1/2}(x)=(\pi/(2x))^{1/2}e^{-x}$ .

Víceméně mi jde o nápad jak vyřešit integrál $\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-(x^{2}/4t)}e^{-t}\mathrm{d}t$ .

Povede se mi výraz upravit, tak že mám $\int_0^\infty t^{-1/2}e^{-[(x^{2}/2\sqrt t)+\sqrt t]^{2}}\mathrm{d}t$ a exp(x), které jsem dodal převedu na druhou stranu rovnice, takže jej nyní neřeším.

Tuším, že v tom bude nějaké substituce nebo využití ekvivalence s nějakým rozdělením pravděpodobnosti. Nápady?

Díky

laszky · 12. 04. 2019 12:09 — Editoval laszky (12. 04. 2019 12:18)

↑ K-tan:

Ahoj, zkus nejdriv pouzit substituci $s=\sqrt{t}$ a pak zkus zjistit co ziskas zderivovanim (podle $s$ ) nasledujici funkce

$\varphi(x,s)=\mathrm{e}^x\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2s}+s\right)-\mathrm{e}^{-x}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{2s}-s\right)$ ,

kde $\mathrm{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z\mathrm{e}^{-r^2}\,\mathrm{d}r$

K-tan · 13. 04. 2019 10:50

↑ laszky:

Díky za odpověď. Po zderivování sice dostanu výraz $\frac{2}{\pi}(2e^{-\frac{x^2}{4s^2}-s^2})$ a část v závorce je přesně co potřebuju dostat. Jak si ovšem poradit s mezemi integrálu. Za s se mi bude dost špatně dosazovat 0, nebo?

byk7 · 13. 04. 2019 12:35

↑ K-tan: Problém s dosazením nuly už máš v původním zadání. Musíš to holt vzít přes limitu.

K-tan · 13. 04. 2019 19:31

Vyřešeno, díky.

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2019 15:53

Macdonaldova funkce o základu 1/2

#2 12. 04. 2019 12:09 — Editoval laszky (12. 04. 2019 12:18)

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

#3 13. 04. 2019 10:50

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

#4 13. 04. 2019 12:35

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

#5 13. 04. 2019 19:31

Re: Macdonaldova funkce o základu 1/2

Zápatí