Matematické Fórum

peterik · 07. 04. 2019 17:53

Dobrý den,

prosím o pomoc s následující úlohou. Má se řešit pomocí Centrální limitní věty. V hodině jsme počítali totožný příklad, jen jsme měli spočítat pravděpodobnost. Počet strojků byl zadaný. Na základě toho, že jsme tento příklad počítali, myslel jsem, že to bude bez problémů, ale není :-( Můžete mi prosím poradit?

Životnost elektrického holicího strojku EHS má exponenciální rozdelení se strední hodnotou 2 roky.
Určete pomocí CLV, jaký nejmenší počet strojků je potřeba koupit, aby s pravděpodobností 0,063 byla prumerná životnost
holicích strojku EHS vyšší než 27 mesícu.

byk7 · 13. 04. 2019 15:00 — Editoval byk7 (13. 04. 2019 15:04)

Počítejme raději v měsících, tj. parametr exponenciálního rozdělení bude $\lambda=24$ a odtud určíme střední hodnotu $\mu$ a směrodatnou odchylku $\sigma$ . Nechť 'n' je hledaný počet strojků. Pro $i\in\{1,\ldots,n\}$ označme $X_i$ životnost i-tého strojku v měsících. Dále označme
$\bar X_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ .
Ze zadání víme, že platí $P(\bar X_n>27)=0.063$ . Podle (Lindebergovy–Lévyho) CLV má náhodná veličina
$U_{\bar X_n}=\frac{(\bar X_n-\mu)\sqrt n}{\sigma}$
má asymptoticky standardizované normální rozdělení N(0,1), tedy
$0.063=P(\bar X_n>27)=\cdots=P$U_{\bar X_n}>\frac{(27-\mu)\sqrt n}{\sigma}$=1-P$U_{\bar X_n}\le\frac{(27-\mu)\sqrt n}{\sigma}$$ .
Musíme tedy najít $t_0$ takové, že $\Phi(t_0)=1-0.063$ (tabulky/software), kde $\Phi$ je distribuční funkce rozdělení N(0,1). Nakonec vyřešíš rovnici
$t_0=\frac{(27-\mu)\sqrt n}{\sigma}$ .