Matematické Fórum

Tomky · 14. 04. 2019 20:57

Pokud se každá ntá derivace fce f(x) rovná odpovídající nté derivaci fce h(x), dá se říct, že f(x)=h(x) ? Až na možnou konstantu která se ztratí při 1. Derivaci.

Díky za odpověď.

Bati · 14. 04. 2019 21:18

ano..na to staci rovnost prvnich derivaci

MichalAld · 14. 04. 2019 21:57

Jenže ona se při každé další derivaci ztratí další konstanta, která vznikla (mohla vzniknout) při té předchozí.

Pokud budeme mít funkci třeba následující polynom:

$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Tak při první derivaci se ztratí to "d",

$y^{(1)} = 3ax^2 +2bx + c$

Při další se ztratí i to "c"

$y^{(2)} = 6ax +2b$

Při další i člen co obsahoval "b"

$y^{(3)} = 6a$

A při další i původní člen s "a"

$y^{(4)} = 0$

Z toho je na pohled celkem zřejmé, že pokud mají funkce stejné n-té derivace, tedy

$f^{(4)}(x) = g^{(4)}(x)$

tak se ty funkce mohou lišit o libovolný polynom stupně n-1, ted

$f(x) = g(x) + P_{n-1}(x)$

Bati · 14. 04. 2019 22:04

↑ MichalAld:
Jsi si jisty? Precti si zadani jeste jednou...

MichalAld · 14. 04. 2019 22:16

↑ Bati:
Nejsem, no. Když o tom tak přemýšlím, tak význam výrazu "každá n-tá derivace" mi vlastně jasný není.
Buď to může být každá derivace, nebo n-tá derivace.

jarrro · 15. 04. 2019 07:48

↑ Bati:↑ Tomky:podľa mňa to platí iba za predpokladu, že definičný obor je interval, lebo
napr. na množine
$M=$0,1$\cup$2,3$$
sa funkcie
$f_1=\chi_{{}_{$0,1$}}+\chi_{{}_{$2,3$}}\nl f_2=2\chi_{{}_{$0,1$}}+3\chi_{{}_{$2,3$}}$
na $M$ nelíšia o konštantu pričom majú všetky derivácie nulové.

Rumburak

↑ Tomky:

Ahoj.

Mám metodický návrh, který věc zjednoduší:

ptej se, kdy funkce g je na otevřeném intervalu identicky rovna nule, a až najdeš odpověď, aplikuj ji
na funkci g(x) = f(x) - h(x).

Důležité je, zda za n-tou derivaci funkce považujeme i "nultou" derivaci, tj. funkci samu.

Bati · 15. 04. 2019 13:15

↑ jarrro:
To je pravda, nicmene porad muzes rict, ze je po castech konstantni, kde kazde souvisle komponente prislusi jedna konstanta.

Tohle plati mnohem obecneji i ve vice dimenzich a staci k tomu jen nulovost slabe derivace..

Matematické Fórum

#1 14. 04. 2019 20:57

Otázka k derivacím

#2 14. 04. 2019 21:18

Re: Otázka k derivacím

#3 14. 04. 2019 21:57

Re: Otázka k derivacím

#4 14. 04. 2019 22:04

Re: Otázka k derivacím

#5 14. 04. 2019 22:16

Re: Otázka k derivacím

#6 15. 04. 2019 07:48

Re: Otázka k derivacím

#7 15. 04. 2019 10:58 — Editoval Rumburak (15. 04. 2019 11:02)

Re: Otázka k derivacím

#8 15. 04. 2019 13:15

Re: Otázka k derivacím

Zápatí