Matematické Fórum

BenJa · 20. 04. 2019 18:34

Ahoj,
po mnoha neúspěšných pokusech vyřešit tuto exponenciální rovnici se obracím na Vás a prosím o pomoc. Už si opravdu nevím rady, předem děkuju za jakýkoliv nápad jak to řešit, nebo rovnou řešení. Je to příklad co mě napadl odpoledne, nic do školy nebo tak:

$2^{x} + 3^{x} = 6^{x}$

Jj · 20. 04. 2019 19:50 — Editoval Jj (20. 04. 2019 19:53)

↑ BenJa:

Zdravím. Rovnice sice vypadá jednoduše, ale řekl bych, že to "běžným" způsobem nepůjde -> řešení některou z numerických metod.

Marian · 21. 04. 2019 08:33

↑ Jj:

Souhlasím, že numerická metoda bude to nejvhodnější. Ještě jsem chtěl poznamenat, že k vyřešení dané rovnice stačí vyřešit rovnici podobnou, totiž

$2^t+3^t=1$ .

BenJa · 21. 04. 2019 09:48 — Editoval BenJa (21. 04. 2019 10:05)

Na rovnici jsem se ještě podíval a napadlo mě jedno řešení, akorát mi výsledek vychází jinak než když to dám do wolframu, tak bych se chtěl zeptat jestli nevidíte nějakou chybu:
$3^{x}+2^{x}=6^{x}$
Zvolím substituci:
$a=3^{x}; 2^{x}=a^{\log_3{2}}$
Potom dostanu rovnici:
$a+a^{log_3{2}}=a^{log_3{2}+1}$
Po vydělení a dostanu rovnici:
$1+a^{log_3{2} -1}=a^{log_3{2}}$
Zvolím další substituci:
$y=a^{log_3{2}-1};=>a^{log_3{2}}=y^{2}$
Pak budu mít rovnici
$1+y=y^{2}$
Z toho dostanu řešení
$y=(-1\pm \sqrt{5})/2$
Z toho už x dokážu vypočítat.