Matematické Fórum

martin369 · 21. 04. 2019 20:52

Zdravim, potreboval bych prosim vysvetlit postup reseni tohoto prikladu, hlavne b).

Jaké množství elektrického náboje projde proudovodičem v těchto případech:
a) elektrický proud rovnoměrně vzrůstá od nuly do 3A po dobu 10s,
b) elektrický proud klesá z 18A na nulu, přičemž se za každou 0,01s zmenší na polovinu

tady mam obrazek reseni ktere je k tomu b) ale nerozumim tomu postupu, proc napr. $\log_2{e}$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-04/72635_58444089_624889337978596_1502446681889701888_n.jpg

martin369 · 21. 04. 2019 20:53

u toho grafu ma byt 37% ne 39% ikdyz ani to nevim co znamena

Ferdish

Ten $\log_{2}e$ je tam preto, aby si mohol vyjadriť funkciu el. prúdu od času ako exponenciálny pokles o základe e namiesto toho, aby si ho vyjadroval ako pokles o základe 2.

Samozrejme, aj bez tohto prevodu by to išlo spočítať, akurát by sa ti o trochu skomplikovalo integrovanie...

Veličina $\tau$ sa nazýva časová konštanta a predstavuje dobu, pri ktorej hodnota veličiny klesajúcej exponenciálne klesne na 1/e-násobok pôvodnej hodnoty. Samozrejme, to platí pre exponenciálny pokles o základe e.

Keď si to prepočítaš, 1/e=0.367879441, teda tento násobok predstavuje cca 37% z pôvodnej hodnoty veličiny.

martin369 · 22. 04. 2019 08:36

↑ Ferdish: dekuju

MichalAld · 22. 04. 2019 23:03

Já jsem teda taky nikdy nepochopil, proč zrovna $\log_{2}e$ .

Každopádně, pokud proud klesá takovým způsobem, že po uplynutí nějakého času klesne vždy na polovinu (obecně n-tinu), vyplatí se si zapamatovat, že klesá exponenciálně. Nevím, jestli to lze v plné obecnosti nějak dokázat, asi bychom to museli formulovat trochu precizněji.

Nicméně - když už si to pamatujeme, tedy, že

$i = I_0 e^{-\frac{t}{\tau}}$

A víme, že po uplynutí nějakého času T bude jeho hodnota poloviční, tak už to $\tau$ snadno spočítáme, prostě z požadavku, že $i=I_0/2$ , tedy že

$e^{-\frac{T}{\tau}} = \frac{1}{2}$

zlogaritmujeme a máme

$\ln(e^{-\frac{T}{\tau}}) = \ln(\frac{1}{2})$

$-\frac{T}{\tau} = -\ln2$

$\tau = \frac{T}{\ln2}$

Ale stejně tak můžeme namísto přirozeného logaritmu aplikovat dvojkový (jen by mě nikdy nenapadlo to dělat) a dostaneme ekvivalentní výsledek

$\log_2(e^{-\frac{T}{\tau}}) = \log_2(\frac{1}{2})$

$-\frac{T}{\tau}\log_2e = -1$

$\tau = T\log_2e$

(Protože ono platí, že $\log_2e = 1/ \ln2$ ).

MichalAld · 22. 04. 2019 23:05

Ještě něco není jasné ? Ten integrál není problém ?

Ferdish · 23. 04. 2019 00:16

MichalAld napsal(a):
Já jsem teda taky nikdy nepochopil, proč zrovna $\log_{2}e$ .

Spolužiak martina369 zrejme radšej násobí, než delí :-)

LukasM · 23. 04. 2019 00:25

MichalAld napsal(a):
Každopádně, pokud proud klesá takovým způsobem, že po uplynutí nějakého času klesne vždy na polovinu (obecně n-tinu), vyplatí se si zapamatovat, že klesá exponenciálně. Nevím, jestli to lze v plné obecnosti nějak dokázat ...

Asi budu litovat, že jsem se zeptal, ale pokud proud po uplynutí konstantního času T vždy klesne na polovinu, tak se to dá popsat vztahem $I(t)=I_0 \left( \frac{1}{2} \right) ^{-\frac{t}{T}}$ , což je na první pohled exponenciální pokles. Co je na tom ještě potřeba dokazovat?

MichalAld · 23. 04. 2019 00:46

Já měl jen na mysli tu větu "proud po uplynutí konstantního času T vždy klesne na polovinu".

Pokud by to znamenalo, že i(t+T) = i(t)/2, pro každé t, tak to žádnou jinou variantu, než ten exponenciální tvar zřejmě nepřipouští.

Pokud by to ovšem mělo znamenat jen i(nT) = i(0)/2^n, nebo i(nT) = i((n-1)T)/2, tak z toho neplyne nic o průběhu proudu v jiných okamžicích než nT.

Ale ani v tom prvním případě mi tak úplně na první pohled není jasné, jak z toho odvodit ten exponenciální tvar, nebo jak ukázat, že žádná jiná funkce to splňovat nemůže. Ale je klidně možné, že už mi to dnes úplně nemyslí...

Navíc myslím, že jsi to trochu překombinoval, podle mě to nemá být

$I(t)=I_0 \left( \frac{1}{2} \right) ^{-\frac{t}{T}}$

ale jen

$I(t)=I_0 \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{t}{T}}$

pietro · 23. 04. 2019 10:07 — Editoval pietro (23. 04. 2019 10:10)

↑ martin369: do tvojej pozornosti posielam riešenie diferenčnej rovnice, od ktorej sa to odvíja
Odkaz

LukasM · 23. 04. 2019 10:15

↑ MichalAld:
Ano, samozřejmě jsem to překombinoval. Bylo už pozdě a nepodařilo se mi rozhodnout se mezi $I(t)=I_0 \left( \frac{1}{2} \right) ^{\frac{t}{T}}$ a $I(t)=I_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$ :-)

edison · 23. 04. 2019 15:56

↑ MichalAld:Nesouvisí ten $\log_{2}e$ s přepočtem logaritmů?
$\log _{a}x = \frac{\log_{b} x}{\log_{b} a}$

KennyMcCormick

To může asi souviset taky, ale můžeme to napsat i jako soustavu rovnic
$I=I_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{t_1}}$
$I=I_0\left(\frac1 e\right)^{\frac{t}{\tau}}$

Odtud
$\left(\frac1 2\right)^{\frac{t}{t_1}}=\left(\frac1 e\right)^{\frac{t}{\tau}}$

A převedeme $e$ na $2$ pomocí
$e=2^{\log_{2} e}$ .

Odtamtud pak už
$\tau=t_1\log_2 e$ . 🙂