Matematické Fórum

MartinF22

Dobrý deň, chcel by som sa spýtať na túto úlohu:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-04/65081_indtok.jpg
V tej prvej časti to mám prosím počítať ako $\Phi (t) = \int_{0}^{a}(\alpha t^{4}x)(a dy)$ ?

Ešte by som sa chcel spýtať k vyjadreniu $dS$ pre výpočet $\Phi:$ Mali sme v škole krivku $y=\alpha x^{6}$ a za úlohu nájsť indukované napätie/prúd a pri výpočte $\Phi (t)$ vyjadrili $dS$ ako $dS = 2xdy$ . Ako na to prosím prišli?

Ďakujem

edit: Príspevok som chcel samozrejme poslať do Fyziky - tu skončil omylom, ale neviem, ako ho tam presunúť.

MichalAld · 27. 04. 2019 14:02

Tohle je na první pohled špatně:

$\Phi (t) = \int_{0}^{a}(\alpha t^{4}x)(a dy)$

protože ta závislost B na x by se tam nějak neprojevila. Na první pohled je jasné, že v integrálu musí být dx.

Úplně správně by to bylo pomocí dvojného integrálu:

$\Phi (t) = \int_{0}^{a}\int_{0}^{a}\alpha t^{4}xdxdy$

A protože funkce na y nezávisí, můžeme to rozdělit na součin dvou "obyčejných" integrálů:

$\Phi (t) = \int_{0}^{a} dy \int_{0}^{a}\alpha t^{4}xdx = a \int_{0}^{a}\alpha t^{4}xdx$

Tohle se ovšem většinou dělá z hlavy, a integruje se jen to, kde funkce závisí na proměnné dle které máme integrovat.

MichalAld · 27. 04. 2019 14:12

MartinF22 napsal(a):
Ešte by som sa chcel spýtať k vyjadreniu $dS$ pre výpočet $\Phi:$ Mali sme v škole krivku $y=\alpha x^{6}$ a za úlohu nájsť indukované napätie/prúd a pri výpočte $\Phi (t)$ vyjadrili $dS$ ako $dS = 2xdy$ . Ako na to prosím prišli?

Tohle mi moc nedává smysl, nemůžeš to napsat celé, to zadání (nejlépe i s obraázkem) ?

Indukované napětí je rovno $u_i = \frac{d \Phi}{dt}$

s tím, že

$\Phi = \int \overrightarrow{B} \overrightarrow{ds}$

Ke změně toku může dojít buď díky tomu, že se mění hodnota B v čase, nebo že se mění tvar (velikost) té plochy, přes kterou tok počítáme.

Zde ale musíme být trochu opatrní, protože existují případy, kdy se plocha nemění a napětí se indukuje, jakož i případy, kdy se plocha mění a napětí se neindukuje (obojí pochopitelně při konstantním B).

Tvá křivka y = ax^6 není žádná hranice (konečně velké) plochy, ani se nemění v čase (nepohybuje se), takže mi není v podstatě jasné, co ta křivka představuje.

MartinF22

↑ MichalAld:
Dobrý deň,
ďakujem Vám za odpoveď.
Bolo by teda správne písať to v tomto prípade aj bez toho dvojitého integrálu?
Vyšlo mi to $\Phi (t) = \frac{1}{2}\alpha t^{4}a^{3}$
A v časti II by indukované napätie potom bolo $U(i) = -2\alpha a^{3}t^{3}$ ? Prosím Vás a ak by sa pýtali na smer indukovaného napätia a prúdu, tak by tu bol v smere hodinových ručičiek?

K tomu druhému príkladu sme mali len danú krivku $y=\alpha x^{6}$ a ako integračnú plochu zvolil horizontálny ´´pás´´ (to je to $dS = 2xdy$ ) a pri výpočte toku integroval podľa y od y=0 po y=vt.

MichalAld · 27. 04. 2019 18:33

MartinF22 napsal(a):
Prosím Vás a ak by sa pýtali na smer indukovaného napätia a prúdu, tak by tu bol v smere hodinových ručičiek?

To já nevím, to je na mě moc složité ....

Ferdish · 27. 04. 2019 23:55

MartinF22 napsal(a):
Bolo by teda správne písať to v tomto prípade aj bez toho dvojitého integrálu?

Počet integračných symbolov odpovedá počtu premenných, cez ktoré integrujeme.

V prípade výpočtu magnetického indukčného toku sa z definície jedná o plošný integrál a keďže plocha je objekt definovaný dvomi premennými, uvažovať dvojitý integrál na začiatku úlohy je nutnosť.

MartinF22 napsal(a):
Vyšlo mi to $\Phi (t) = \frac{1}{2}\alpha t^{4}a^{3}$
A v časti II by indukované napätie potom bolo $U(i) = -2\alpha a^{3}t^{3}$ ?

Ak je odvodenie integrálu od kolegu ↑ MichalAld: správne, tak tebou vypočítaný indukčný tok aj indukované napätie sú OK.

MartinF22 napsal(a):
Prosím Vás a ak by sa pýtali na smer indukovaného napätia a prúdu, tak by tu bol v smere hodinových ručičiek?

Neexistuje nič také ako smer napätia. Môžeš určiť jeho polaritu, ak si predstavíš, že v obvode slučky je zapojený imaginárny zdroj (indukovaného) napätia.

Čo sa týka smeru indukovaného prúdu, tak áno, v tomto prípade bude tiecť v smere hodinových ručičiek. Otázkou je, či dokážeš aj zdôvodniť, prečo je to tak...

MichalAld · 28. 04. 2019 14:23

Ještě k tomu indukovanému napětí - ono je to trochu jiné napětí než jsme běžně zvyklí. Spadá do kategorie tzv. elektromotorických napětí (což je tady celkem oblíbené téma, hi).

Obecně je napětí vždy definováno jako křivkový integrál el. intenzity E po nějaké dráze, vedoucí mezi body A, B tedy:

$U = \int _A^B\overrightarrow{E}\overrightarrow{dl}$

Jenže k tomu nevyřčená podmínka, že pole E musí být konzervativní, že výsledek nesmí záviset na dráze, po které integraci provádíme. Elektrostatické pole tuto vlastnost má. Potom můžeme zavést funkci elektrického potenciálu (což není nic jiné, než že si jeden z bodů zvolíme jako "referenční" a spočteme napětí vůči tomuto bodu ve všech ostatních bodech prostoru. Referenční bod se s oblibou volí v nekonečnu). Takže napětí mezi dvěma body je pak rozdíl potenciálů v těchto bodech.

Ale elektrické pole E vzniklé elektromagnetickou indukcí už tuto vlastnost nemá - není konzervativní, dráhový integrál E mezi dvěma body obecně závisí na tom, jakou si zvolíme cestu. Z toho plyne důsledek, že tento integrál po uzavřené křivce dává nenulovou hodnotu (v konzervativním poli, jako je to elektrostatické je vždy roven nule).
V indukovaném el. poli nelze zavést el. potenciál, a indukované napětí nelze chápat v tomto smyslu (jako napětí mezi dvěma body).

Na druhou stranu, není v tom velký rozdíl, jestli proud teče z bodu A do bodu B, nebo teče uzavřenou smyčkou. Z pohledu Ohmova zákona je to celkem jedno, proud smyčkou je roven podílu napětí a odporu té smyčky. Jen je potřeba se smířit s představou, že to napětí není mezi dvěma body, ale podél smyčky.

Pak je tu otázka té polarity. Už tu zaznělo, že indukované napětí "nemá směr", že směr má jen ten proud. Podle mě je to ale trochu zjednodušená představa. Je pravda, že proud má i "fyzický směr" - odpovídá tečnému vektoru té smyčky, zatímco napětí přímo né, nicméně stejný směr má ta elektrická intenzita E, ze které jsme napětí počítali.

Ale ono to úplně neřeší náš problém. My potřebujeme určit POLARITU napětí či proudu (pokud to tak můžeme nazývat), a ta se vztahuje k ORIENTACI té smyčky. On totiž výsledek toho integrálu, který nám určuje napětí, závisí na tom, jakým směrem se po smyčce pohybujeme. Stejně tak nám vyjde i "délka smyčky" kladná nebo záporná, podle toho, v jakém směru provádíme integraci.

Abychom tedy dokázali určit polaritu napětí podél té smyčky (což je na první pohled dost nenázorné) nebo polaritu proudu (což je na první pohled mnohem zřejmější, co to znamená, byť je to v podstatě to samé), musíme nejprve dokázat určit "směr" samotné smyčky.

A já si po pravdě nejsem úplně jistý, jak se to dělá, neboť když jsem byl na škole, tak se tomuto tématu dost pečlivě vyhýbali. Jen si pamatuji, že existují smyčky a plochy, u kterých to prostě neurčíme (Morbiův list, Kleinova láhev atd). U takovéto jednoduché smyčky to samozřejmě není problém - teda krom toho, že si nepamatuji, jak se to dělá.

Existuje ovšem hack, jak se určování orientace smyčky vyhnout - indukované napětí vytváří proud, jež vytváří nové magnetické pole, jež působí proti změně toho původního. Z toho už směr proudu snadno určíme - jen musíme mít na paměti, že změna B nemusí nutně mířit ve směru toho B, to platí jen když B roste. Pokud bude klesat, bude jeho změna mířit na opačnou stranu.

Matematické Fórum

#1 27. 04. 2019 13:45 — Editoval MartinF22 (27. 04. 2019 13:47)

Magnetický indukčný tok

#2 27. 04. 2019 14:02

Re: Magnetický indukčný tok

#3 27. 04. 2019 14:12

Re: Magnetický indukčný tok

MartinF22 napsal(a):

#4 27. 04. 2019 15:25 — Editoval MartinF22 (27. 04. 2019 15:27)

Re: Magnetický indukčný tok

#5 27. 04. 2019 18:33

Re: Magnetický indukčný tok

MartinF22 napsal(a):

#6 27. 04. 2019 23:55

Re: Magnetický indukčný tok

MartinF22 napsal(a):

MartinF22 napsal(a):

MartinF22 napsal(a):

#7 28. 04. 2019 14:23

Re: Magnetický indukčný tok

Zápatí