Matematické Fórum

mb1303 · 25. 04. 2019 22:10

Hezký večer,

napadla mě následující úvaha, zkoušel jsem letmo hledat na internetu, ale na zdroj, který by vedl k odpovědi, jsem zatím nenašel. Kdyby někdo věděl, jak se s tím popasovat, budu rád za radu.

Každému trojúhelníku lze opsat i vepsat kružnici.

Čtyřúhelníku ABCD lze za podmínky, že protější úhly dávají dohromady 180°, opsat kružnici a za podmínky a+c=b+d vepsat kružnci. Čtyřúhelníků, kterým lze opsat i vepsat kružnici (nazvaných dvoustředové, tj. splňujících obě podmínky) je nekonečně mnoho.

Každému pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici.

Existuje však nepravidelný (konvexní) pětiúhelník (šestiúhelník,...), kterému lze vepsat i opsat kružnici zároveň?

vanok · 26. 04. 2019 13:41

Ahoj ↑ mb1303:,
Tu mas priklad, taky ako hladas
https://commons.m.wikimedia.org/wiki/Fi … ric_01.svg

vanok · 26. 04. 2019 14:38

Ahoj,
A este toto je tiez velmi poucne
http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

MichalAld · 26. 04. 2019 18:14

Já jsem o tom ještě uvažoval skrze stupně volnosti.

Trojúhelník má (v rovině) 3 x 2 stupně volností - každý vrchol můžeme umístit do libovolného x,y bodu.
Čtyřúhelník pochopitelně 4 x 2, a N-úhelník N x 2 stupňů volnosti.

Pokud vrcholy 3, 4, nebo N úhelníku umístíme na kružnici (opsanou kružnici) přijdeme tím o 3, 4 či N stupňu volnosti, protože každý bod se může pohybovat jen ve směru té kružnice.

Ale samotná kružnice má 3 stupňe volnosti (x, y jejího středu a poloměr).

To samé můžeme udělat s kružnicí vepsanou, zase tím přijdeme o 3, 4 či N stupňů volnosti a získáme 3.

Takže výsledek je, že pokud N-úhelník bude mít opsanou i vepsanou kružnici, bude mít vždy jen 6 stupňů volnosti.

Pro trojúhelník to není žádné omezení, pro 4-úhelník to znamená, že si můžeme zvolit polohy jen 3 z jeho vrcholů, a čtvrtá už je tím pevně určená.

Pro N-úhelník to platí stejně, 3 vrcholy si můžeme zvolit, a ostatní už jsou dané. Můžeme si tedy zvolit třeba délku dvou sousedních stran a úhel mezi nimi - a zbytek vrcholů už je tím pevně určený.

Pokud bychom si zvolili polohu 4 nebo více vrcholů, tak už ty kružnice obecně nesestrojíme.

check_drummer · 26. 04. 2019 22:17

↑ mb1303:
Ahoj, co tento postup: Zvolíme kružnici k o středu S a poloměru r pevně a kružnici m o středu velmi blízkém S a poloměru jen o málo větším než r (ovšem tak, aby byla k celá "uvnitř" m). Začneme konstruovat hledaný mnohoúhelník tak, že zvolíme libovolný bod na m a pak už je celý tvar mnohúhelníku dán - musíme postupně konstruovat tečny ke k končící na m. Samozřejmě ne vždy tak získáme mnohoúhelník - ale pokud budeme spojitě zvětšovat poloměr kružnice m, tak si myslím, že takto budeme postupně získávat (pro vhodné poloměry) mnohoúhelníky a s rostoucím poloměrem kružnice m budou mít tyo mnohoúhelníky méně a méně vrcholů. Moje hypotéza je, že takto lze sestrojit hledaný mnohoúhelník s libovolným počtem vrcholů - které všechny budou mít pevnou vepsanou kružnici a pevný střed opsané kružnice.
Ale možná se pletu, není to zcela přesný důkaz.

vanok · 26. 04. 2019 23:19 — Editoval vanok (26. 04. 2019 23:38)

Pozdravujem ↑ MichalAld:, ↑ check_drummer:
To ste necitali moj odkaz ↑ vanok: o Poncelet-ovom porisme?
Vsak som vam ho vybral, preto, ze je tam vo viacerych pripadoch presne uvedeme n ako treba vybrat pre dane n ich vpisanu a opisanu aby sme mali bicentricky n-uholnik.

A naviac, vtedy ak zacnete rysovat v lubovolnom bode opisanej kruznice stranu n- uholnika tak aby sa dotykala vpisanej kruznice tak takyto n- uholnik je nezavysly na pociatocnom bode.
( preto sa to toci na tom odkaze).

Pripominam, ze prakticky v celej Europe sa to ucilo na SS tak pred polstorocim. ( Zial ? teraz sa to uz neuci, no ale sa to najde v klasickych knihach Geometrie)

check_drummer · 27. 04. 2019 01:06

↑ vanok:
Ahoj, to jsem přehlédl, četl jsem jen ten první odkaz. Ten druhý odkaz mi připomíná:
http://mathworld.wolfram.com/SteinersPorism.html
Bylo by zajímavé zkoumat souvislost obou těchto pojmů.

vanok · 27. 04. 2019 09:53

Pozdravujem ↑ check_drummer:,
Ano je to zaujimave porovnat tie dve situacie.
No tu som chcel ostat pri n-uholnikoch.

Dalsie zaujimave porovnanie je problem tykajuci sa gulecniku ( billiard).

vanok · 28. 04. 2019 14:51

Pozdravujem,
Tu je dalsie zaujimave citanie, ( i ked presahuje ramec SS, pre vas-y matematicku kulturu ho tu pridavam) https://publications.ias.edu/sites/defa … plicit.pdf

check_drummer · 29. 04. 2019 02:47

↑ vanok:
Ahoj, z jaké je to knihy? Děkuji.

vanok · 29. 04. 2019 16:58

Cau ↑ check_drummer:,
To neviem o aku knihu ide, nasiel som to na google. (Hladal som porism of Poncelet)

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2019 22:10

Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#2 26. 04. 2019 13:41

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#3 26. 04. 2019 14:38

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#4 26. 04. 2019 18:14

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#5 26. 04. 2019 22:17

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#6 26. 04. 2019 23:19 — Editoval vanok (26. 04. 2019 23:38)

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#7 27. 04. 2019 01:06

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#8 27. 04. 2019 09:53

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#9 28. 04. 2019 14:51

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#10 29. 04. 2019 02:47

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

#11 29. 04. 2019 16:58

Re: Kružnice opsaná a vepsaná nepravidelnému n-úhelniku

Zápatí