Matematické Fórum

Tomi38 · 29. 05. 2009 15:06

prosím o zdôvodnenie daného problému a rýchlu odpoveĎ

jendula11 · 29. 05. 2009 15:17

$\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a^n}\frac{a^{-n}}{a^{-n}}$

musixx · 29. 05. 2009 15:51 — Editoval musixx (29. 05. 2009 15:56)

↑ Tomi38: Je to spatne napsano. Bud pro $n<0,\ a\neq0$ definuji $a^n=\frac1{a^{-n}}$ nebo pro $n>0,\ a\neq0$ definuji $a^{-n}=\frac1{a^n}$ . Ale to je jen detail.

Nehledej dukaz, proc se neco nejak definuje. Dokazuji se vety, tvrzeni a ne definice. Definice je takova proto, aby se s tim snadno "intuitivne" pocitalo, aby $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$ , aby $a^{-1}=\frac1a$ a $a^{-n}=\left(a^n\right)^{-1}=\frac1{a^n}$ a tak.

EDIT:

Chci, aby $a^0=1$ . Vim, kolik je $a^n$ . Jak tedy definovat $a^{-n}$ , chci-li, aby $a^{n+m}$ bylo $a^n\cdot a^m$ ? No to pak take musi byt $a^{n+(-n)}$ rovno $a^n\cdot a^{-n}$ . Jenze $n+(-n)=0$ a chci, aby $a^{n+(-n)}=a^0$ bylo $1$ . Jenze $a^{n+(-n)}=a^n\cdot a^{-n}$ , coz je jedna jen tehdy, kdyz $a^{-n}=\frac1{a^n}$ .

Rumburak

Problém vidím v tom (EDIT: stejně jako kolega ↑ musixx:), že je definováno $a^{-n}$ pomocí $a^{n}$ ,
aniž by bylo dříve definováno $a^{n}$ . Z této příčiny je Tebou uvedená definice jako celek chybná.

Chybějící krok je nutno zajistit indukcí. Celá definice by měla vypadat následovně:
1. $a^0 \,:= 1$ , (tento krok je v Tebou uvedené "definici" uplatněn)
2. Je-li již definováno $a^{k}$ pro nějaké přirozené číslo $k$ , potom $a^{k+1}\,:= a\cdot a^k$ (tento krok v uvedené "definici" chybí).
(Těmito dvěma kroky je $a^{n}$ definováno pro libovolné přirozené číslo $n$ a nyní teprve mohu definici tohoto symbolu rozšířit
pro exponent celý záporný.)
3. Jestliže $a \ne 0 \, \wedge \, n \in N$ , potom $a^{-n}\,:= \frac{1}{a^n}$ .

Poznámka: do množiny $N$ všech přirozených čísel zde počítám i nulu.

musixx · 29. 05. 2009 15:59 — Editoval musixx (29. 05. 2009 15:59)

↑ Rumburak: Tady neslo o to napsat presnou definici. ↑ Tomi38: zjevne vi, jak je to pro kladna cisla 'a' a 'n'. Jeho dotaz jsem pochopil tak, ze se pta, proc se zrovna tak a ne jinak zachazi se zapornymi celymi exponenty.

Rumburak · 29. 05. 2009 16:15

↑ musixx:
Možná ano. Nicméně z osobní zkušenosti vím, že nesprávná (v tomto případě neúplná) definice bývá příčinou podobných nejasností,
jaké popisuje ↑ Tomi38:, proto jsem definici uvedl na pravou míru (doufám, že správně). Nebylo to nijak míněno jako
reakce na Tvůj příspěvek , o němž jsem ve chvíli psaní toho svého vůbec nevěděl, že příjde.

Tomi38 · 29. 05. 2009 18:27

Ďakujem za opravu a aj vysvetlenie mám tu daľší problém je to správne formulované ak nie prečo Ďakujem za odpovede

jendula11 · 29. 05. 2009 18:46

Řekl bych že je to správně

Tomi38 · 30. 05. 2009 17:16

$a^{-1}=\frac1a$ prečo to tak je ak má niekto nejaký matematický postup ako na to matematici prišli

jendula11 · 30. 05. 2009 17:22

Skus si třeba daný výraz rozšíčit zlomkem a/a

jarrro · 30. 05. 2009 17:47 — Editoval jarrro (07. 02. 2022 15:04)

začiatok je v prirodzenej mocnine a^n je súčin n rovnakých čísel ak ich vynásobíme ešte m takými istými číslami dostaneme n+m takých čísel v súcine ak vydelíme tak vzhľadom na inverznosť násobenia a delenia je jasné že dostaneme n-m čísel a v súčine. Pri m>n platí to isté je to len voľné rozšírenie prirodzenej mocniny
[mathjax]\begin{align}\frac{\stackrel{n}{\overbrace {aa\cdots a}}}{\stackrel{m}{\overbrace {aa\cdots a}}} &= \frac{1}{a^{m-n}}=a^{n-m}\\
n-m &= -k\\a^{-k} &= \frac{1}{a^k}\end{align}[/mathjax]

Tomi38 · 31. 05. 2009 21:14

Ďakujem

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2009 15:06

Dôkaz mocniny s celým exponentom

#2 29. 05. 2009 15:17

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#3 29. 05. 2009 15:51 — Editoval musixx (29. 05. 2009 15:56)

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#4 29. 05. 2009 15:52 — Editoval Rumburak (29. 05. 2009 16:00)

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#5 29. 05. 2009 15:59 — Editoval musixx (29. 05. 2009 15:59)

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#6 29. 05. 2009 16:15

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#7 29. 05. 2009 18:27

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#8 29. 05. 2009 18:46

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#9 30. 05. 2009 17:16

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#10 30. 05. 2009 17:22

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#11 30. 05. 2009 17:47 — Editoval jarrro (07. 02. 2022 15:04)

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#12 31. 05. 2009 21:14

Re: Dôkaz mocniny s celým exponentom

#13 07. 02. 2022 14:59 Příspěvek uživatele jarrro byl skryt uživatelem jarrro.

Zápatí