Matematické Fórum

ocas123

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-05/28966_Pozn%25C3%25A1mka%2B2019-05-07%2B133600.jpg

Prosím o pomoc s tímto příkladem. Nevím, jak zjistím, zda-li se jedná o podprostor VP, pokud jsou hodnoty čísla a ne proměnné a jestli je množina lineárním obalem již před úpravou, protože:

Instinktivně bych začal tím, že bych z množiny vektorů vyřadil lineárně závislé vektory
$(2,2,2,2),(0,0,0,0)$
A dostal množinu lineárně nezávislou:
$(1,1,1,1),(-1,0,1,1)$

Zajímá mě, jestli je tato množina lineárním obalem? Je tato množina vektorovým podprostorem? Nebo je to dokonce rovnou báze VP? Jak to ověřím?
Zbytek příkladu mi nedělá problém, např. vím, že vektor
$(-2,1,0,5)$
Do množiny (lineárního obalu?) nepatří. Postup je roznásobení množiny a řešení soustavy rovnic:
$(a,a,a,a) + (-b,0,b,b)=(-2,1,0,5)$

$a-b = -2$
$a = 1$
$a+b =0$
$a+b=5$
NELZE.

Potřeboval bych taky poradit s tím lineárním zobrazením, jak na to jít? Ověření těch dvou podmínek zvládám, jádro i obraz taktéž. Avšak nevím, jak zjistit, zda-li to vůbec lze, jelikož jdeme z:
$R^4 -> R^2$

Děkuji za rady.

vanok · 07. 05. 2019 17:09

Ahoj ↑ ocas123:,
Najprv ti polozi dve otazky.

Ako ste definovali linearny obal?

Na poslednu otazku, napis nam najprv ako ste definovali linearne zobrazenie?

ocas123

Ahoj vanok,
1) lineární obal -> množina všech lineárních kombinací
$<u_{1}\ldots u_{n}> = \{\alpha_{1}\cdot u_{1}+ \ldots \alpha _{n} \cdot u_{n}\}$

2) lineární zobrazení -> zobrazení je lineární, pokud se v něm zachovává sčítání a násobení, pro výpočet se ověří dvě podmínky

$f(u+v) = f(u) + f(v)$
$f(\alpha .u)=\alpha.f(u)$

"u" a "v" je vektor s tou čárkou nahoře, nevím jak s to v latexu zapisuje. :(

Díky za odpověď.

Abych svůj dotaz rozšířil - neměl bych asi problém toto řešit, pokud bych měl zadané třeba toto:
$f:\mathbb{R}^{2} -> {\mathbb{R}}^{2}$
$\forall (x,y):T(x,y) = (2x-y,0)$

Ale pokud mám rovnou zadanou nějakou množinu vektorů, o které musím nejprve rozhodnout, jestli to je vektorový podprostor (první problém), pokud to je lineární obal (druhý problém) a nakonec vymyslet lineární zobrazení (pokud to vůbec jde), tak si jaksi nevím rady. Průser taky je, že tohle je vyřazovací příklad a nesmím si dovolit udělat chybu.

vanok · 07. 05. 2019 17:52 — Editoval vanok (07. 05. 2019 17:54)

↑ ocas123:,
Ano je to podpriestor, ako som to prave napisal tvojou kolegovy..
Dokaz je jednoduchy ( a iste ste to videli, ci nie?).

Ano to je pravda, ze mas moznosti napisat take zobrazenia, ak sa od teba nic ine nevyzaduje ako aby obraz bol podpriestor z $\Bbb R^2$ .

Staci?

Inac vectory sa sa daju pisat aj tu na fore v LaTexovim editore.

ocas123 · 07. 05. 2019 17:56

Promiň, že to musíš řešit ve dvou tématech. Očividně jsem nebyl jediný, koho napadlo napsat o radu sem. :D

Opět bych neměl problém určit, zda-li jde o vektorový podprostor, pokud by byly zadané proměnné. Důkaz, pokud se nemýlím, se opět provádí ověřením pravidel sčítání a násobení, pokud se v množině zachová, pak jde o vektorový podprostor?

Jenže jak to aplikovat na situaci, kde mám určeny vektory v množině?

vanok · 07. 05. 2019 18:19

↑ ocas123:,
Co sa tyka podpriestoru mas pravdu, pre istotu treba na to overit , ze ide o neprazdnu cast priestoru.
( no staci povedat, ze skalarny nasobok nulou, co da nulovy vektor je tam.... ).
( pisem ti tu velmi lopatisticky, lebo asi nestudujes len matematiku).

Pokial v tvojom dokaze pouzijes vsetki vektory dane v obale, to ti da uz dobry dokaz.
Pochopitelne, tiez mozes ( ci da nieco trochu krajsie) sa koncentrovat v dokaze na vektory z obalu ktore su linearne nezavysle; a su dokonca baza tvojho obalu. ( a potom poznamenas ze tam musia patrit aj tie ine vektory ktore si vylucil v dokaze).

ocas123 · 07. 05. 2019 18:33

Ano, na to, že po úpravě toho původního lineárního obalu dostanu lineárně nezávislý lineární obal a taky rovnou bázi toho prostoru, jsem nakonec přišel.

Takže toto řešení, jestli je množina podprostorem VP je správně?

1.
$\vec{u}+\vec{v} = (1,1,1,1)+(-1,0,1,1) = (0,1,2,2)$
2.
$\alpha \cdot \vec{u} = \alpha\cdot (1,1,1,1) = (\alpha ,\alpha ,\alpha ,\alpha )$

Došel jsem k tomu, že součet libovolných dvou vektorů z lineárního obalu mi dá další vektor a taky k tomu, že vynásobením skalárem dostanu každou souřadnici stejně upravenou.

Nebo jsem vedle?

vanok · 07. 05. 2019 19:14

↑ ocas123:,
Nie to je dobry dokaz.
Treba pracovat na vseobecnych vektoroch, a tvojom pripade mozes pracovat na linearnych kombinaciach vektorov ‘ $\vec{u}, \vec{v}$ a vyuzit to co som ti poradil vyssie.

ocas123 · 07. 05. 2019 19:24

Co takto? První část důkazu.
$\vec{u}+\vec{v} = (u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})+(v_{1},0,v_{3},v_{4}) = (u_{1}+v_{1}, u_{2}, u_{3} + v_{3}, u_{4} + v_{4})$

A druhá část (násobení skalárem) zůstává jak je?

vanok · 07. 05. 2019 20:19

↑ ocas123:
Nerozumiem, co su to tie tvoje zmenene vectory?
Porozmyslaj o tom este.

ocas123 · 07. 05. 2019 20:26

Promiň, už nad tím sedím asi 9 hodin, krom tohohle musím ještě projet celé matice, lineární soustavy rovnic, vlastní čísla a vlastní vektory a lineární zobrazení - hlava už moc nefunguje, mohl bys mě nakopnout trochu víc?

vanok · 07. 05. 2019 21:20

↑ ocas123:,
Jedno riesenie je, nasiel si dva linearne nezavisle vektory u a od ktorych zavisia ostatne dane vectory.
Cize vektory u a v generuju linearny obal danych vektorov. A tak naviac {u, v} je baza tohto linearneho obalu.

vanok · 07. 05. 2019 21:24

↑ ocas123:,
Jedno riesenie je, nasiel si dva linearne nezavisle vektory u a od ktorych zavisia ostatne dane vectory.
Cize vektory u a v generuju linearny obal danych vektorov. A tak naviac {u, v} je baza tohto linearneho obalu.

ocas123 · 07. 05. 2019 21:29

Ano, to vím. Ale nevím, jak mi to má pomoct při dokazování podprostoru.

vanok · 07. 05. 2019 21:36

↑ ocas123:,
To je dokaz. Lebo u a v generuje ten podpriestor.

ocas123 · 07. 05. 2019 21:44

Aha. No, tak to by mě teda nenapadlo. Stačí to takto napsat do testu, pokud teda nějak upravím ten lineární obal, najdu bázi a napíšu, že báze generuje podprostor?

vanok · 07. 05. 2019 21:57

↑ ocas123:,
Normalne ano.
Ja som pisal, ze lin. obal danych vektorov je generovany tymi vektormy.
No ale ak niekto zmeni tuto definiciu, moze zbytocne inym zkomplikovat zivot.

A niektori ludia pouzivaju ine postupy ako ja. ( mozu vyzadovat dokazat len tak, ako to oni robili napr. na prednaske. )

Tak pekny vecer a prajem ti vela uspechov.

ocas123

EDIT: nevšiml jsem si tvé odpovědi, když jsem psal tento post. Můžeš prosím se mnou ještě zkonzultovat toto? Díky moc.

Jinak teda to lineární zobrazení. Napadlo mě to udělat takto:
$\forall (x,y,z,w): T(x,y,z,w) = (x,y)$
Toto je moje vymyšlené lineární zobrazení, následuje ověření dvou podmínek:

1. podmínka
$f(\vec{x}+\vec{y}) = f((x_{1}+y_{1}),(x_{2}+y_{2}),(x_{3}+y_{3}),(x_{4}+y_{4}))$
$f(\vec{x}+\vec{y}) = (x_{1}+y_{1}),(x_{2}+y_{2})$

$f(\vec{x}) + f(\vec{y}) = f(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) + f(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4})$
$f(\vec{x}) + f(\vec{y}) = (x_{1}+y_{1}),(x_{2}+y_{2})$

$L=P$

2. podmínka
$f(\alpha \cdot \vec{x}) = f(r\cdot x_{1}, r\cdot x_{2}, r\cdot x_{3}, r\cdot x_{4})$
$f(\alpha \cdot \vec{x}) = (r\cdot x_{1},r\cdot x_{2})$

$\alpha \cdot f(\vec{x}) = \alpha \cdot f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4})$
$\alpha \cdot f(\vec{x}) = (r\cdot x_{1},r\cdot x_{2})$

$L=P$

Takže lineární zobrazení by mělo fungovat, teď určím jádro zobrazení:
$ker f: (x,y) = (0,0)$
$x = 0$
$y = 0$

Takže lineární zobrazení je monomorfismus.

Poslední, s čím si nevím rady, je obraz. Jak na to?

vanok · 07. 05. 2019 23:10 — Editoval vanok (07. 05. 2019 23:23)

↑ ocas123:,
To je projekcia a obraz je Im T = $\Bbb R^2$

Raz pises T a potom f, musis si len jedno vybrat.

Poznamka ked pises
$f(\vec{x}+\vec{y}) = (x_{1}+y_{1}),(x_{2}+y_{2})$
To si chcel asi pisat
$f(\vec{x}+\vec{y}) = (x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2})$

Tu tvoj dokaz je ok.

ocas123 · 07. 05. 2019 23:31

Takže obraz se dá zapsat i takto?
$Im f = (t,t ;t \varepsilon \mathbb{R})$

Díky.

vanok · 08. 05. 2019 04:05

↑ ocas123:
To nie, to by bola len diagonala, cize priamka rovnice y=x.
No mozes napisat aj $Im(f)=\Bbb R^2= \{(x,y)|x\in \Bbb R,y\in \Bbb R\}$

ocas123 · 08. 05. 2019 11:28

Chápu. Děkuji moc za cenné rady. Snad to zítra vyjde napoprvé. :-)

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2019 13:44 — Editoval ocas123 (07. 05. 2019 13:50)

Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#2 07. 05. 2019 17:09

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#3 07. 05. 2019 17:33 — Editoval ocas123 (07. 05. 2019 17:48)

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#4 07. 05. 2019 17:52 — Editoval vanok (07. 05. 2019 17:54)

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#5 07. 05. 2019 17:56

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#6 07. 05. 2019 18:19

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#7 07. 05. 2019 18:33

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#8 07. 05. 2019 19:14

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#9 07. 05. 2019 19:24

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#10 07. 05. 2019 20:19

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#11 07. 05. 2019 20:26

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#12 07. 05. 2019 21:20

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#13 07. 05. 2019 21:24

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#14 07. 05. 2019 21:29

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#15 07. 05. 2019 21:36

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#16 07. 05. 2019 21:37 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok.

#17 07. 05. 2019 21:44

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#18 07. 05. 2019 21:57

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#19 07. 05. 2019 22:15 — Editoval ocas123 (07. 05. 2019 22:26)

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#20 07. 05. 2019 23:10 — Editoval vanok (07. 05. 2019 23:23)

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#21 07. 05. 2019 23:31

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#22 08. 05. 2019 04:05

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

#23 08. 05. 2019 11:28

Re: Příklad z lineární algebry - vektorový obal, podprostor atp.

Zápatí