Matematické Fórum

↑ Boka:

Když se podíváš na definiční vztahy Fourierovy a Laplaceovy transformace, tak ony jsou skoro stejné. Takže i získaný výsledek je zase skoro stejný, nemůže být nějaký principiálně jiný.

Je třeba si uvědomit, že to "p" či "s" v Laplaceově transformaci je komplexní číslo, a né reálné. Zatímco ve Fourieorově transformaci je to , což je vždy čistě imaginární číslo (když se na to takto díváme).

Tenhle drobný rozdíl má samozřejmě z matematického hlediska dalekosáhlé důsledky, ale z praktického zas až tak moc né.

Pokud například aplikujeme na soustavu lineárních dif. rovnic jednu nebo druhou transformaci, dostaneme ten samý obraz, jen v jednom případě je parametrem s, a ve druhém .

Podobné je to i v případech, kdy aplikujeme transformaci přímo na nějakou funkci. Jejich obrazy jsou (za jistých podmínek) zase stejné.

Píši tedy "za jistých podmínek", protože definice FT je od minus nekonečna do plus nekonečna, zatímco LT je od nuly do nekonečna. Já přesně nevím, jaké z toho plynou odlišnosti.

Z praktického hlediska je to jasné - v radiotechnice, kde analyzujeme periodické (či kvazi-periodické) signály není problém předpokládat, že trvají pořád.

Zatímco pokud chceme analyzovat přechodové děje, hodí se nám, že začaly v čase nula, a nemusíme řešit, co tomu předcházelo.



Vzhledem k tomu, jak s tím po matematické stránce operujeme, můžeme Fourierův obraz nějaké funkce interpretovat jako její "spektrum", protože parametr je reálné číslo (či je čistě imaginární číslo), a můžeme to tedy chápat jako součet jednotlivých "sinusovek".

To u Laplaceovy transformace takto jednoduché není, protože jednak to "s" je komplexní číslo, a těch je celá rovina, a jednak nesčítáme to přes všechna existující "s" (narozdíl od FT, kde to sčítáme přes všechna existující ), ale sčítáme to jen přes jistá "s", podél nějaké křivky.  A z vlastností funkcí v komplexním oboru plyne, že volba té křivky, podél které to sčítáme může být (do jisté míry) libovolná. Takže nemůžeme takto jednoduše říct, že sčítáme "nějaké exponenciály", když si je můžeme částečně zvolit.