Matematické Fórum

DavidMath · 08. 05. 2019 03:22

Dobrý den.
Potřeboval bych, prosím, poradit s tímto příkladem, který si chci vypočítat z povinných příkladů cvičně na páteční zápočet z Fyziky. Bohužel jej zkrátka nemohu vypočítat, i když je na pohled velice lehký, ale obtížnost uvádějí až 3.
Poradíte mi, prosím? děkuji

Číslo příkladu: 435; Fyzika II, 9. přednáška; obtížnost: 3; pořadí: 54; počítá se ve cvičení; datum poslední změny:8.11.2007
Kolik tepla je zapotřebí, aby se látka, jejíž tepelná kapacita je dána rovnicí c = a + bt2, zahřála z teploty 0 °C na teplotu 20 °C? (a = 3, b = 4, t je ve oC a hmotnost látky jsou 2 kg. [Q = 21,5 kJ]

Výsledek je 21,5 kJ, co uvádějí v hranaté závorce na konci. Já to počítal takto, ale stejně mi to nevychází:

C = a + bt^2
C = 3 + 4 (20)^2
C = 1603 J.kg.K

Q = m * c * delta (t)
Q = 2 kg * 1603 J.kg.K * 20 °C
Q = 64 120 J = 64,12 kJ , což je úplně odlišný výsledek. Jelikož je to obtížnost 3, asi tam budou mnohem složitější kroky. Díky

KennyMcCormick · 08. 05. 2019 05:46

$c$ není konstanta, takže ji nemůžeš vypočítat.

K tomu, abys ohřál vodu z $t$ na $t+\d t$ stupňů, potřebuješ
$\d Q(t) = mc(t)\d t$ tepla.

Kolik potřebujeme celkem tepla? Sečteme všechna elementární tepla:
$Q(t) = \int\limits_0^{20}mc(t)\d t$

OK?

DavidMath

Zmiňovaný integrál mi vyšel 200*m*c

po úpravách následujících: m*c* Integrál od 0 do 20 (t) dt = m*c* [(t^2/2)] od nuly do 20 = m*c* [(20^2/2) - (0^2/2)] = m*c* [(400/2) - 0] = 200m*c

Jenže nevím, jak postupovat dále... Za hmotnost dosadím 1 kg, to je jasné, ale co dosadím za to C?

Díky

MichalAld · 08. 05. 2019 15:11

Za C dosadíš to $C(t) = a + bt^2$ , ale ještě před tím, než začneš počítat ten integrál...

DavidMath · 08. 05. 2019 15:14

↑ MichalAld:

No, tak to je jedno, jestli to dosadím na začátku nebo až do výsledku ne? C je konstanta, neboť se jedná o násobek, takže stejně musí před integrál a tím pádem tohle C bude před závorkou až do výsledku. Takže bych teoreticky mohl dosadit za C do toho výsledku 200*m*c, to jsem zkoušel, ale nevychází to!

A jinak nerozumím, když bych měl dosadit ještě před počítáním integrálu, co by se na tom změnilo, respektive nevím, jak bych měl pak počítat... Omlouvám se

DavidMath

↑ MichalAld:

Jestli myslíte takto, tak mi to stejně nevychází, každopádně čísla výsledku jsou už totožná, akorát ve špatných řádech. Kde dělám chybu?

Omlouvám se za škrabopis, píšu to narychlo. Díky

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-05/22701_integr%25C3%25A1l%2Bfyzika.jpg

Edit: Aha, teď jsem si všimnul, že m není 1 kg jak jsem dosazoval, ale 2 kg, takže výsledek bude 2 * 2 133 393,33, což je blbost. Díky

pietro · 08. 05. 2019 15:56

↑ DavidMath:

Odkaz

DavidMath

↑ pietro:

Nechápu ale, kam zmizelo to jedno t? Za integrálem má být přece m * c * t, takže by to mělo být m * (a + bt^2) [což je dosazené c] * zbývající t. Proč na Vašem odkaze tam to t není?

Protože tím pádem, když z mého výpočtu to t vyřadím (což po integraci je t^2/2, tak to těch 21 453 J vychází. Proč ale to t tam být nemá, když vzoreček integrace je jak uvádí viz výše ,,Kolega" KennyMcCormick ?

DavidMath

↑ Jj:

Ano, já tu integraci v podstatě mám v pořádku, akorát na začátku mám navíc jedno t, které po integraci je t^2/2, což pak samozřejmě násobek udělá mnohonásobně větší výsledek. Bez toho t je to poté správný výsledek.

Jen nerozumím, proč to t tam být nemá, protože nemá být náhodou Q = m*c*t nebo tento vzorec platí jen u kapacity C = m*c*t?

Edit: Takže Q = m*c , nikoliv Q = m*c*t. Zmátlo mě to, jak to poprvé uvedl uživatel KennyMcCormick, protože on psal do závorky t a já si myslel, že to je proměnná rovněž pro integraci, ale to (t) znamená jakože podle t.

Tím pádem mám tam to t na začátku navíc, a tím pádem mi to nevychází. Bez toho t to je v pořádku. Je to tak? :)

Jen pro C platí C = m*c*t a tady to t už je, neboť je to vzorec se změnou teploty. :)

Jj · 08. 05. 2019 16:11

↑ DavidMath:

Kolega nepíše m*c*t, ale m*c(t), tzn., že c je funkcí t.

DavidMath · 08. 05. 2019 16:13

↑ Jj:
Ano ano, všimnul jsem si toho, viz můj edit nahoře červeně. Blbě jsem si to napsal, a pak už jsem s tím t rovněž počítal, což je špatně. Děkuji mnohokrát ;)

Jj · 08. 05. 2019 16:19 — Editoval Jj (08. 05. 2019 16:25)

↑ DavidMath:

A ještě k té integraci, kdyby tam to t patřilo, tak by byla

$\int (a+bt^2)t\,dt = \int (at + bt^3)\,dt = at^2/2 + bt^4/4$

Takže nelze souhlasit s tímto:

"Ano, já tu integraci v podstatě mám v pořádku, ... "

MichalAld

↑ DavidMath:

Ono je to buď takto (to platí vždycky)

$Q = m\int C(t)dt$

nebo (v případě, že C je konstantna, a nezávisí na teplotě, tedy že C(t) = C) takto:

$Q = m C t$ nebo tedy správně by to mělo být $Q = m C \Delta t$ , protože jde o rozdíl teplot, né o absolutní teplotu.

Nikdy to ovšem není

$Q = m C(t) \Delta t$ (tohle by mohlo být ještě zhruba správně, kdyby ten rozdíl teplot byl malý)

a už vůbec né

$Q = m C$

či

$Q = m \int C(t) t dt$