Matematické Fórum

Ondri22 · 09. 05. 2019 18:48

Dobrý deň, dnes sme na hodine matematiky mali dokázať, že platí $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
Postupne sme úpravami ukázali $a^{2}+2ab+b^{2}\ge 4ab$
$a^{2}-2ab+b^{2}\ge 0$
$(a-b)^{2}\ge 0$
Povedali sme, že toto je návod a že dôkaz vedieme opačným smerom.

Bolo nám povedané že toto matematický dôkaz nie je, je to len škaredé upravovanie nerovnice. Vraj sa to má robiť, tak že anulujeme nerovnicu a ukážeme $\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}{2}\ge 0$ .

Preto sa pýtam, je plnohodnotne akceptovateľný aj náš postup (s odôvodnením, že dôkaz je vedený opačne) alebo by sa to skutočne malo robiť takto.
ďakujem

krakonoš

↑ Ondri22:
V tomto pripade se zrejme predpoklada,ze a,b jsou nezaporna cisla,jinak by nebylo mozne definovat jejich odmocniny-viz nize.Stacilo by zde vynasobit obe strany dvema a prevest na levou stranu,pak uz vidime rovnou vzorec typu rozdil umocneny nadruhou.

Mame-li nerovnost odmocnina(a) mensi odmocnina(b),zustava po umocneni obou stran nerovnost zachovana.

Prevod na jednu stranu,o kterem pises,je nutny v pripadech,kdy se musime vyhnout situaci,kdy nemuzeme nasobit obe strany necim,co by mohlo byt zaporne a mohlo tak zmenit nerovnost.
Takze u nezapornych cisel a,b podle me nevadi.
Muzes si i na internetu najit na wikipedii definici konkavni funkce (odmocnina je konkavni funkce) a aplikovat definici pro lambda rovno1/2.Umocnenim zustava nerovnost zachovana (aplikujeme rostouci funkci na rostouci funkci)

vanok · 09. 05. 2019 21:37 — Editoval vanok (09. 05. 2019 22:50)

Ahoj ↑ Ondri22:,
Tvoja nerovnost sa da bez problemou dokazat pre dve kladne realne cisla.
( vlastne ide o dokaz ze aritmeticky priemer dvoch kladnych cisiel je vädci ako ich geometricky priemer, a rovnost je len ak a=b).

Ako je to casto v matematike, mozeme tu vymysliet viacero dokazov
I ked v tvojom prispevku je viacero zaujimavych myslienok, skutocne tam nie je dokonaly dokaz.
No ak vies co znamena povedat, ze dva vyroky su ekvivalentne, tak sa lahko dostanes k dokazu.
Ukazem ti jeden jeden mozny dokaz
Staci postupne konstatovat,ze pre kladne realne a; b
$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
$a+b\ge 2\sqrt {ab}$
$(\sqrt a)^2-2\sqrt a .\sqrt b +(\sqrt b)^2 \ge 0$
$(\sqrt a-\sqrt b)^2 \ge 0$ .

Su vzqjomne ekvivalentne. (Co znamena, ze pravdivost vyroku medzi vyrokmy dvoch susednych riadkov je rovnaka)
No posledny riadok je ocividne pravdivy. Tak aj prvy.

A to je dokaz tvojho vyroku.

(No dufam, ze ste v skole uz hovorili o ekvivalenciach)

No je tiez pravda, ze napisat vyroky bez komentaru nie je dokaz.

Ondri22 · 09. 05. 2019 22:27

↑ vanok: Ahoj, dakujem za odpoveď. komentar som sem v rychlosti nepisal, skor mi islo o tu skutočnosť, či je skutočne postup, kde sme to ešte aj umocnili a dostali sa tak k $(a-b)^{2}\ge 0$ relevntný dôkaz alebo je to len skutočne "škaredé upravovanie nerovnice" ktoré nám ako dôkaz uznané byť nemôže

vanok · 09. 05. 2019 22:43 — Editoval vanok (09. 05. 2019 22:48)

HAhoj ↑ Ondri22:,
Aj ta druha nerovnost sa da pouzit, no vsak, je to trosku kolplexnejsie. Tam naviac treba pouzit substituciu.
Tak je jasnejsie podobne upravit ako som to robil v tom mojom dokaze z A; B....’.tak aby si prisiel k $(A-B)^2 \ge 0$ . A potom polozit ( substitucia) $A=\sqrt a; B=\sqrt b$
Atd. No myslienkovy postup je trochu komplikovanejsi. Ale aj ten dokaz ( ked ho napises cely) je vyborny.

( vsak aj v tom je krasa matematiky, ze mas niekedy viacej moznosti)

Ten tvoj kamarad, zda sa mi, ze v tomto pripade nemal pravdu....’

Este male pozorovanie, ten dokaz co som napisal nie je celkom uplny, lebo som nehovoril v nom z tou castou tykajucoy sa rovnosti...’ no to necham na teba.

Dobre pokracovanie ( a dufam, ze si sa z tymto cvicenim pobavil).

Matematické Fórum

#1 09. 05. 2019 18:48

AG nerovnosť

#2 09. 05. 2019 20:19 — Editoval krakonoš (09. 05. 2019 20:33)

Re: AG nerovnosť

#3 09. 05. 2019 21:37 — Editoval vanok (09. 05. 2019 22:50)

Re: AG nerovnosť

#4 09. 05. 2019 22:27

Re: AG nerovnosť

#5 09. 05. 2019 22:43 — Editoval vanok (09. 05. 2019 22:48)

Re: AG nerovnosť

Zápatí