Matematické Fórum

Anonymystik

Pro $n \in \mathbb{Z} - \{ 0 \}$ a kladná reálná reálná čísla $a_1, a_2, ..., a_m$ lze definovat mocninný průměr $P_n := \sqrt[n]{\frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_m^n}{m}}$ . Například pro $n=1$ se jedná o průměr aritmetický, pro $n=2$ o průměr kvadratický, pro $n=-1$ o půrměr harmonický. Dokonce lze ukázat, že pokud zafixujeme čísla $a_1, a_2, ..., a_m$ , pak výraz $P_n$ je neklesající spolu s číslem $n$ . Například pro $n=1$ a $n=2$ se jedná o nerovnost mezi aritmetickým a kvadratickým průměrem (kvadratický je vždy aspoň roven aritmetickému).
--
Pro číslo $n=0$ se ukáže, že definice průměru nedává dobrý matematický smysl. Na druhou stranu pokud výraz přepíšeme způsobem $P_n = \bigg(\frac{a_1^n + a_2^n + ... + a_m^n}{m} \bigg)^{\frac{1}{n}}$ , lze ho spojitě dodefinovat pro všechna $n \in \mathbb{R} - \{ 0 \}$ . Lze tedy uvážit limitu tohoto tvaru: $P_0 := \lim_{n \to 0} P_n$ . Jaká je limitní hodnota takového výrazu? A jaké zajímavé nerovnosti se k tomuto "průměru" (a jiným zmíněným průměrům) vztahují? Asi to jde snadno vygooglit, ale pokud to neznáte, zkuste vyřešit sami, vyjde hezky a překvapivě. Fakt samotný jsem dlouho znal, ale dneska v tramvaji jsem si poprvé dal tu práci a dokázal si ho.

byk7 · 13. 05. 2019 20:46

Taky by nebylo od věci podívat se na limity v $\pm\infty$ . :)

Bati · 13. 05. 2019 23:44

↑ Anonymystik:
Vyslo mi

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Anonymystik · 14. 05. 2019 11:40

↑ Bati: vyšlo správně, ale ta úprava jednoho výrazu na druhý je na mě asi "moc rychlá". Já osobně to teda spočetl na asi 6 kroků, které ale lze snadno sledovat. :-)

Bati · 14. 05. 2019 12:48

↑ Anonymystik:
Jo, ja tam mel taky nejake mezikroky, ale zprava doleva je to celkem jasne. Zajimalo by me jestli a jak se da prumer 3 cisel prevest na prumer dvou.

check_drummer · 14. 05. 2019 21:51

Ahoj, co přesně myslíš následující poznámkou?

Bati napsal(a):
Zajimalo by me jestli a jak se da prumer 3 cisel prevest na prumer dvou.

Bati · 15. 05. 2019 16:57

↑ check_drummer:
Jestli se da nejak elegantne pouzit znalost $P_0(a_1,a_2)$ k vypoctu $P_0(b_1,b_2,b_3)$

check_drummer · 16. 05. 2019 21:41

↑ Bati:
A je povoleno využít toho, že víme, že je to geometrický průměr, nebo ne? :-)

Bati · 16. 05. 2019 23:05

↑ check_drummer:
Pro $P_0(a_1,a_2)$ jo, pro $P_0(b_1,b_2,b_3)$ ne

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2019 18:21 — Editoval Anonymystik (13. 05. 2019 22:43)

Limita mocninného průměru

#2 13. 05. 2019 20:46

Re: Limita mocninného průměru

#3 13. 05. 2019 23:44

Re: Limita mocninného průměru

#4 14. 05. 2019 11:40

Re: Limita mocninného průměru

#5 14. 05. 2019 12:48

Re: Limita mocninného průměru

#6 14. 05. 2019 21:51

Re: Limita mocninného průměru

Bati napsal(a):

#7 15. 05. 2019 16:57

Re: Limita mocninného průměru

#8 16. 05. 2019 21:41

Re: Limita mocninného průměru

#9 16. 05. 2019 23:05

Re: Limita mocninného průměru

Zápatí