Matematické Fórum

NeuRotiCk

Dobrý den, mám tu jeden příklad na diferenciální rovnice, chtěl bych se jen zeptat, jestli jsem postupoval správně:
Nalezněte obecné řešení:y’y=x $\Rightarrow$ y’=x/y
$dy/dx = x/y \Rightarrow y\cdot dy=x\cdot dx$
$\int_{}^{}y\cdot dy=\int_{}^{}x\cdot dx = y^{2}/2=x^{2}/2+c, c\in \mathbb{R}$
$y=\sqrt{2*(x^{2}+c)}, c\in \mathbb{R}$
To je podle mě všechno, kamarádka to právě že chtěla řešit substitucí, ale to mi přijde jako blbost, když tam mám jenom jeden člen, substituce je podle mě zbytečná.
Předem děkuji za odpověď

Takjo · 14. 05. 2019 16:28

↑ NeuRotiCk:
Dobrý den,
snad jen drobnost:
Máte: $\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+c$
a po úpravě dostanete: $y^{2}=x^{2}+C$ kde: $C=2c$

NeuRotiCk · 14. 05. 2019 16:54

Dobrý den,
to je jen dodatkový krok ne? Po roznásobení mé závorky dostaneme Váš zápis, nebo se pletu?

NeuRotiCk

Ale teď se koukám, zapomněl sem napsat, že $y(1/4) = \sqrt{65}/4$
to bych teda řešil tak, že bych bod 1/4 dosadil za x $y=\sqrt{2\cdot (x^{2}/2+c)} \Rightarrow y(1/4) = \sqrt{2\cdot [(1/4)^{2}/2+c} = \sqrt{65}/4$
Vyřeším, najdu c a dosadím do rovnice, v tomto případě by asi teda bylo jednodušší použít vaše vyjádření.

Takjo · 14. 05. 2019 17:12

↑ NeuRotiCk:
Dobrý den,
úpravou rovnice $\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+c$ nedostanete $y^{2}=2(x^{2}+c)$

NeuRotiCk · 14. 05. 2019 17:16

Jo, já sem tam všude zapomněl napsat to lomeno, už to vidím, na papíru to mám dobře zapsaný, mám to tam takhle:
$y=\sqrt{2\cdot (x^{2}/2+c)}$ nevím proč sem to dvakrát opsal špatně. Děkuju za opravu.

Takjo · 14. 05. 2019 17:23

↑ NeuRotiCk:
Dobrý den,
OK, dopočtěte C dle vašeho zadání $y_{(\frac{1}{4})}=\frac{\sqrt{65}}{4}$
a dosaďte do rovnice, čímž dostanete jedno partikulární řešení pro zadané parametry.

NeuRotiCk · 14. 05. 2019 17:28

Po dosazení do rovnice, kterou sem uvedl výše mi vyšlo, že :
$\sqrt{2\cdot [(1/4)^{2}/2+c]}=\sqrt{65}/4\Rightarrow 2\cdot [(1/16)/2+c]$
$1/17+2c=65/16\Rightarrow c=65/32-1/34$

Takjo · 14. 05. 2019 17:32

↑ NeuRotiCk:
Dobrý den,
mně vyšlo $C=4$
Snad se nepletu.

NeuRotiCk · 14. 05. 2019 17:51

Z toho mého vychází $c=2,0018 \doteq 2$ což by zhruba vycházel tomu vašemu $C=4$ za předpokladu že $C=2c$

Takjo · 14. 05. 2019 18:02

↑ NeuRotiCk:
Dobrý den,
takže:
$y=\sqrt{x^{2}+C}$
$\sqrt{x^{2}+C}=\frac{\sqrt{65}}{4}$
$\sqrt{\frac{1}{16}+C}=\frac{\sqrt{65}}{4}$
$\frac{\sqrt{1+16C}}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4}$
$1+16C=65$
$C=4$