Matematické Fórum

karelpavlis

Zajímalo mě, jaký vliv na tíhu tělesa má kromě zemské gravitace také gravitace Slunce, Měsíce, pohyb Země kolem Slunce a rotace Země kolem osy.
Protože tíhu tělesa mohu zjistit vážením, chtěl jsem teoretické výpočty potvrdit experimentálně a to s tělesem 0,5 kg (mám váhy s příslušným rozlišením 0,01 g pouze do 0,5 kg).
Aby se výše uvedené vlivy projevily co nejvíce, zaměřil jsem se na porovnání výsledné tíhy tělesa v době kolem rovnodennosti, když bude Měsíc v novu a to jednak v poledne a jednak o půlnoci.

Vyšlo mi toto:
a) Gravitace Slunce v poledne: -0,0019 N, o půlnoci +0,0019 N (rozdíl poledne-půlnoc: -0,0038 N)
b) Odstředivá síla při pohybu kolem Slunce v poledne: +0,0030 N, o půlnoci: -0,0030 N (rozdíl poledne-půlnoc: +0,0060 N)
c) Odstředivá síla rotací země kolem osy v poledne i o půlnoci: neuplatní se - v poledne i o půlnoci stejný směr
d) Gravitační síla Měsíce: neuplatní se, je o 2 řády menší než a) a b)

Součet rozdílů: +0,0021 N, tomu by měl odpovídat naměřený rozdíl na váze: 0,21 gramů.
Experimentálně jsem však nenaměřil rozdíl žádný. Víte proč?

M slunce 2,00E+30 kg
m těleso 0,5 kg
grav.konst 6,67E-11 m3 kg-1 s-2
R Slunce 1,50E+11 m
M Měsíce 7,35E+22 kg
R Měsíce 3,84E+08 m
h Slunce 40°
oběh kolem Slunce 31536000 s
oběh kolem osy Země 86400 s

edison · 15. 05. 2019 13:34

Někde tam asi bude chybka ve výpočtech, protože normálně se bere příliv/odliv jako projev gravitace měsíce a o slunci se neuvažuje.

karelpavlis · 15. 05. 2019 13:58

Za příliv a odliv mohou slapové síly. To není totéž jako gravitační síly.
I kdybych měl chybu v tomto, nevysvětlovalo by to, proč jsem naměřil nulový rozdíl tíhy. Kdyby se Měsíc gravitačně podílel řádově jako Slunce, výsledná síla by byla jiná, z jiného důvodu, ale jistě by nebyla nulová.

Problém bude jinde.

Fendir · 15. 05. 2019 14:13

Problém může být v systému vážení. U gravitačních vah porovnáváme závaží s objektem a změna gravitace se nijak neprojeví. Museli by jsme mít pružinové nebo tenzometrické váhy, ty měří absolutně.

karelpavlis · 15. 05. 2019 14:22

Moje váha neporovnává závaží s objektem. Je to digitální váha, mám za to, že váží na tenzometrickém principu.

edison · 15. 05. 2019 15:20

karelpavlis napsal(a):
Za příliv a odliv mohou slapové síly. To není totéž jako gravitační síly.
I kdybych měl chybu v tomto, nevysvětlovalo by to, proč jsem naměřil nulový rozdíl tíhy. Kdyby se Měsíc gravitačně podílel řádově jako Slunce, výsledná síla by byla jiná, z jiného důvodu, ale jistě by nebyla nulová.

Slapová síla je převlečená síla gravitační+odstředivá a vyjadřuje přesně to, co by mělo hýbat s váhou. Jev, který hýbe s hladinou v moři, bude mít samozřejmě i vliv na váhu, pokud se tato nenachází na lodi. Naopak jev, který nehýbe s hladinou, nebude hýbat ani s váhou.

Kdyžtak sem hoď své výpočty, třeba najdeme kde je chyba.

Příliv na volném moři na rovníku je do 0,8 m. cos 40° je 0,76, takže u nás by to bylo asi 0,6 m.
Země má poloměr asi 6 Mm, to je krát 10 milionů. Gravitace ubývá s 2. mocninou, takže máme 10M na druhou vs 10M+1 na druhou. Poměr je 1,00000020...

Ta dvojka je na sedmém desetinném místě. Takže u 500 g by, podle mě, váha měla ukazovat o 0,1 mg jinak. A jelikož Slunce nám příliv významně neovlivňuje, jeho vliv bude ještě slabší.

karelpavlis napsal(a):
Moje váha neporovnává závaží s objektem. Je to digitální váha, mám za to, že váží na tenzometrickém principu.

Setinková váha, která umí zvážit půl kila, klidně může mít kalibrační mechanizmus se závažím. Ale takové jsou docela drahé.

Pokud je to naopak kuchyňská váha za pár drobných, je velmi pravděpodobné, že ty setinky jsou +/- autobus a nejvíc závisí na okolní teplotě. Tyhle problémy mají i váhy do 100g. A ještě pozor: Software v nich mívá různé vychytávky, aby nepřesnost maskoval a ty občas vedou k zajímavým překvápkům.

edison · 15. 05. 2019 16:02

Vzpomněl jsem si, že jsem kdysi viděl článek o přílivu, kde to autor důkladně rozebíral a počítal a to včetně slunce. Bylo to docela složitý. A česky. Tak zkus pohledat, třeba najdeš.

edison · 15. 05. 2019 16:35

Tady to taky řešili:
https://www.quora.com/How-much-does-the … -my-weight

týpkovi vyšlo 0,33g/100kg.

KennyMcCormick · 16. 05. 2019 04:24

↑ karelpavlis:
Předmět bude díky Slunci lehčí ve dne i v noci (i když pokaždé trochu jinak) a celkový rozdíl bude o několik řádů menší.

Napiš sem svůj výpočet, najdeme ti tam chybu. 🙂

karelpavlis · 16. 05. 2019 07:01

Můj výpočet vypadal takto (tam, kde jednotky neuvádím, jsou základní (N, m, s apod.)):

$F_{G,S,poledne}=-\frac{G\cdot M_{S}\cdot m}{R_{S}^{2}}\cdot \sin h=-\frac{6,67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot10^{30}\cdot 0,5}{{(150\cdot 10^{9)}}^2}\cdot \sin 40^\circ =-0.0019 N$
$F_{G,S,pulnoc}=+0.0019 N$
$F_{odstr.,S,poledne}=m\cdot \omega ^{2}\cdot {R_{S}}=0.5\cdot[ {\frac{2\pi }{365\cdot 24\cdot 60\cdot 60}]^{2}}\cdot 150\cdot 10^{9}=+0.003 N$
$F_{odstr.,S,pulnoc}=-0.003 N$

$F_{G,S,poledne}+F_{odstr.,S,poledne}=-0.0019 N+0.003 N=0.0011 N$
$F_{G,S,pulnoc}+F_{odstr.,S,pulnoc}=+0.0019 N-0.003 N=-0.0011 N$
$F_{poledne}-F_{pulnoc}=0.0011 N+0.0011 N=0.0022 N$
Tomu by v na váze v tíhovém poli země mělo odpovídat $0,22 g$ .

Fendir · 16. 05. 2019 07:51

edison napsal(a):
Někde tam asi bude chybka ve výpočtech, protože normálně se bere příliv/odliv jako projev gravitace měsíce a o slunci se neuvažuje.

Ale uvažuje. Vliv slunce je zhruba 1/2 vlivu měsíce. Když se oba vlivy sečtou, dochází k tzv. skočnému přílivu, opak je hluchý příliv.

MichalAld

Možná to tady už někdo napsal, ale každopádně - gravitační sílu Slunce ani Měsíce nelze na Zemi vůbec měřit. Neboť vše, na co gravitační síla cizích těles působí, padá volným pádem ve směru těch sil, a vše se stejným zrychlením. Vůči slunci (i měsíci) jsme tedy, tak říkajíc "v beztížném stavu".

Je úplně jedno, zdali má Země vůči slunci i "tečnou rychlost", tj že jej obíhá, nebo (kdyby ji neměla) by padala přímo na něj. Výsledek je tentýž (ale můžeme klidně říct, že gravitační síla slunce (i měsíce) je dokonale vyružena odstředivou silou - jak se pohybujeme po kruhové dráze).

Takže ta prvotní úvaha (že na přivrácené straně se gravitační síla slunce přičítá a na odvrácené straně odečítá), je zcela nesmyslná.

Jediné, co lze doměřit, je ROZDÍL ve velikosti gravitační síly na přivrácené a odvrácené straně. Protože gravitančí síla se se vzdáleností od slunce mění (klesá se druhou mocninou vzdálenosti) a zem se svými věcmi se může pohybovat jen jako celek, přivrácená strana se nemůže pohybovat s větším zrychlením než odvrácená. Tímhle efektem vznikají tzv. slapové síly, a jevy, jež vyvolávají, se nazývají slapové jevy. Jak třeba ten příliv/odliv.

Čím je gravitační pole více homogenní, tím jsou slapové síly menší (bez ohledu na to, jak je vlastní (konstantní) gravitančí pole velké). Proto je vliv slunce na slapové jevy menší než vliv měsíce - jeho pole je v okolí země více homogenní.

Důvod, proč gravitační sílu země můžeme měřit je ten, že nám jaksi není umožněno padat volným pádem. Pokud bychom padali (třeba v kleci výtahu, které nevydržela lana), žádnou gravitační sílu nenaměříme. Stejně tak v družici na oběžné dráze - tam je také beztížný stav (nebo aspoň téměř).

KennyMcCormick

↑ karelpavlis:
Necháme to v obecné formě a dosadíme až na konci, aby se nekumulovaly zaokrouhlovací chyby.

Takže, podle mě:
$F_{G,S,poledne}=-\frac{G\cdot M_{S}\cdot m}{\left(R_{S}-R_Z\sin h\right)^{2}}\cdot \sin h$
$F_{G,S,pulnoc}=\frac{G\cdot M_{S}\cdot m}{\left(R_{S}+R_Z\sin h\right)^{2}}\cdot \sin h$
$F_{odstr.,S,poledne}=m\cdot \omega ^{2}\cdot {\left(R_{S}-R_Z\sin h\right)}\sin h$
$F_{odstr.,S,pulnoc}=-m\cdot \omega ^{2}\cdot {\left(R_{S}+R_Z\sin h\right)}\sin h$

$\omega = \frac{v}{R_S}$ , kde $v$ je oběžná rychlost Země.

Protože dostředivé zrychlení Země je gravitační zrychlení, které jí uděluje Slunce, platí
$\frac{v^2}{R_S}=\frac{GM_S}{{R_S}^2}$ , odtud
$v=\sqrt{\frac{GM_S}{R_S}}$ , tedy
$\omega^2 = \frac{GM_S}{R_S^3}$

Dosadíme za $\omega^2$ do odstředivých sil a dostaneme
$F_{odstr.,S,poledne}=m\cdot \frac{GM_S}{R_S^3}\cdot {\left(R_{S}-R_Z\sin h\right)}\sin h$
$F_{odstr.,S,pulnoc}=-m\cdot \frac{GM_S}{R_S^3}\cdot {\left(R_{S}+R_Z\sin h\right)}\sin h$

Takže dodatečná síla působící směrem vzhůru na těleso v poledne bude
$F_{\text{poledne}} = \frac{G\cdot M_{S}\cdot m}{\left(R_{S}-R_Z\sin h\right)^{2}}\cdot \sin h - m\cdot \frac{GM_S}{R_S^3}\cdot {\left(R_{S}-R_Z\sin h\right)}\sin h =\nl= m\left[GM_S\sin h\left(\frac{R_S^3 - (R_S-R_Z\sin h)^3}{R_S^3(R_S-R_Z\sin h)^2}\right)\right]$ a o půlnoci
$F_\text{půlnoc} = m\cdot \frac{GM_S}{R_S^3}\cdot {\left(R_{S}+R_Z\sin h\right)}\sin h - \frac{G\cdot M_{S}\cdot m}{\left(R_{S}+R_Z\sin h\right)^{2}}\cdot \sin h=\nl = m\left[GM_S\sin h\left(\frac{(R_S+R_Z\sin h)^3-R_S^3}{R_S^3(R_S+R_Z\sin h)^2}\right)\right]$ .

V poledne bude síla působící vzhůru větší než o půlnoci. Ve srovnání s půlnocí bude těleso v poledne lehčí o sílu
http://mathb.in/33692. Protože $R_Z\sin h\ll R_S$ , můžeme psát

$\Delta F \approx m\left[GM_S \sin h\frac{6R_S^3R_Z^2\sin^2 h}{R_S^7-2R_S^5R_Z^2\sin^2 h}\right]\approx 1,6\cdot10^{-11}m$ , kde $m$ je hmotnost tělesa (pokud tvoje váha neměří porovnáváním s hmotností jiného tělesa, jinak naměříš $\Delta F = 0$ ). 🙂

Edit: Vypadl mi tam jeden sin h, takže ve výsledku bude 1,6 místo 2,5.

MichalAld · 17. 05. 2019 18:57

Já ještě doplním, že etalon hmotnosti 1kg lze replikovat s přesností v řádu mikrogramů. Tedy s přesností v řádu $10^{-9}$ , a to jen na komparačních váhách. Běžné magneto-kompenzační váhy mají přesnost tuším v řádu $10^{-6}$ , možná $10^{-7}$ . Tenzometrické váhy $10^{-4}$ .

Takže tento efekt váhami (libovolného typu) zjevně neprokážeme. Navíc na komparačních váhách se rozdíl tíhového zrychlení neprojeví.

Možná by to šlo prokázat gravimetrem, dle wiki dosahují citlivosti až
$10^{-11}ms^{-2}$ Ale otázka je, co vlastně budeme měřit, neboť vlivem těch slapových sil dochází k přelévání vody v mořích i deformaci zemské kůry, a to samozřejmě způsobí taky změnu tíhového zrychlení.

karelpavlis · 17. 05. 2019 21:25

Hm, pěkné. Díky za výpočty.
Asi půjdu vrátit vysvědčení...

Fendir · 18. 05. 2019 07:46

Ale je zajímavé, že takhle malé změny vyvolají výrazný jev - příliv.
Taky jsem přemýšlel nad tímhle - přílivová vlna na volném moři má necelý metr, ale běží rychlostí cca 3500km/h ( 2x za den oběhne zemi) Vlna tsunami má taky cca metr, běží jen okolo 700km/h. Jak to, že přílivová vlna nepůsobí větší škody? Má sice pozvolnější hranu ( nastoupá za 6h), ale dost větší rychlost. Taková obrovská energie, když narazí na pobřeží......?

MichalAld · 18. 05. 2019 11:49

Já jsem samozřejmě příliš líný na to abych počítal takovéhle složitosti, takže bych si to trochu zjednodušil.

1) Neřešil bych náklon zemské osy ani to, že měření závisí na zeměpisné šířce, prostě bych bral jen bod nejbližší ke slunci a nejvzdálenější od slunce.

2) Použil bych aproximaci prvního řádu - diferenciál

V takovém případě platí pro gravitační zrychlení Newtonův vztah

$g = \kappa \frac{M}{r^2}$

Jeho diferenciál je

$\Delta g = \frac{dg}{dr} \Delta R = \frac{d}{dr} (\kappa \frac{M}{r^2})\Delta r = -2 \kappa M \frac{1}{r^3} \Delta r = -2 g \frac{\Delta r}{r}$

Už teď je vidět, že rozdíl gravitačního zrychlení od Slunce mezi nejbližším a nejvzdálenějším bodem Země je mnohem menší, nežli samotné hodnota gravitačního zrychlení - stejnou měrou, jakou je menší průměr Země oproti vzdálenosti Země od Slunce.

MichalAld · 18. 05. 2019 12:01

Vzdálenost Země - Slunce je zhruba 1AU, tedy 150 milionů km, průměr Země je zhruba 12 500 km, když to dáme do poměru, dostaneme cca 8.3E-5,

Gravitační zrychlení způsobené Sluncem ve vzálenosti Země mi vychází (našel jsem to i na nějakém fóru, a vychází mi to stejně)

g=G(M/r²)

g - local gravitational field
G - gravitational constant
M - mass of Sun
r - distance from Sun

G=6.67428×10^-11 N(m/kg)²
M=1.9891×10^30 kg
r=1 AU=149.60×10^9 m

g=0.0059 m/s²

Rozdíl g na přivrácené a odvrácené straně země bude tedy 2*8.3E-5 větší, tedy

$\Delta g = 0,000.000.98m/s^2 = 9.8 * 10^{-7} m/s^2$

MichalAld · 18. 05. 2019 12:34

No nějaký rozdíl, mezi tím, co jsem spočítal já a tím co Kenny se dal čekat, ale 4-5 řádů je přeci jen trochu hodně.

Nedalo mi to a vše jsem si ještě jednou přepočítal, a také ověřil všechny hodnoty (na wiki).

Spočítal jsem to i v excelu bez zaokrouhlování, a přád mi to vychází kolem $1*10^{-6}m/s^2$

Je také možné, že neumím derivovat, ale přijde mi to všechno tak nějak v pořádku...

MichalAld · 18. 05. 2019 12:40

Fendir napsal(a):
Ale je zajímavé, že takhle malé změny vyvolají výrazný jev - příliv.
Taky jsem přemýšlel nad tímhle - přílivová vlna na volném moři má necelý metr, ale běží rychlostí cca 3500km/h ( 2x za den oběhne zemi) Vlna tsunami má taky cca metr, běží jen okolo 700km/h. Jak to, že přílivová vlna nepůsobí větší škody? Má sice pozvolnější hranu ( nastoupá za 6h), ale dost větší rychlost. Taková obrovská energie, když narazí na pobřeží......?

1) přílivová vlna neoběhne Zemi 2x za 24 hodin, ony jsou vlny dvě, jedna na přivrácené a druhá na odvrácené straně.

2) Co se týče porovnání s tsunami - to máš asi podobné, jako když porovnáš odpálení 100g semtexu a snězení tabulky čokolády - uvolněná energie je v obou případech zhruba stejná.

KennyMcCormick

↑ karelpavlis:
Ty jsi to spočítal skoro dobře, jenom jsi nevzal v úvahu závislost sil na poloměru Země a zaokrouhlovací chyby, plus odstředivá síla musí být vynásobená $\sin h$ ze stejného důvodu jako gravitační síla. 🙂

↑ Fendir:
Velikost přílivu a odlivu je způsobená
1. Silou samotnou, ne jejími rozdíly. Příliv na přivrácené a odvrácené straně Země je skoro stejný. https://en.wikipedia.org/wiki/File:Tide_overview.svg 🙂
2. Někde rezonance, ale nevím, do jaké míry: https://en.wikipedia.org/wiki/Tidal_resonance

↑ MichalAld:
Já podvádím, protože jsem si to ještě před psaním příspěvku našel na Physics StackExchange (zdálo se mi divné, že nic nenaměřil). (Vypadá to jinak, protože jsem přidal závislost rychlosti na poloměru Země.) 🙂

Pro stojící Zeměkouli cítí těleso v poledne zrychlení
$g_{\text{poledne}} = g_Z - g_{S1}$ , o půlnoci
$g_\text{půlnoc} = g_Z + g_{S2}$ .

V poledne tedy ucítí extra tíhové zrychlení ve srovnání s půlnocí
$g_\text{půlnoc} - g_{\text{poledne}} = g_Z + g_{S2} - (g_Z - g_{S1}) = g_{S2} + g_{S1}$ směrem nahoru.

Potom je k tomu potřeba ještě připočíst odstředivou sílu z oběhu Země kolem Slunce, protože ta jak v poledne, tak o půlnoci bude působit proti gravitaci Slunce.

Rozdíl ve zrychlení $\Delta g$ bychom naměřili, kdybychom vážili v kosmu s váhou stále stejně orientovanou, v soustavě, kde není odstředivá síla. 🙂

KennyMcCormick

S tím $\sin h$ to vlastně bude v noci jinak, protože osa Země má sklon 23,5°... ale celkový výsledek nebude o moc jiný. Dneska večer to přepíšu...

Edit: Ono by to vlastně ještě záviselo na ročním období, tak radši budu předstírat, že sklon je 0°...

Aleš13 · 22. 05. 2019 09:18

MichalAld napsal(a):
1) přílivová vlna neoběhne Zemi 2x za 24 hodin, ony jsou vlny dvě, jedna na přivrácené a druhá na odvrácené straně.

Ony jsou ty vlny vlastně čtyři, dvě "měsíční" a dvě "sluneční", ta sluneční se pohybuje o něco rychleji a interferují spolu. Ono jich je vlastně ještě víc, ale to už je pak moc složité :-) (https://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_tides).

MichalAld napsal(a):
2) Co se týče porovnání s tsunami - to máš asi podobné, jako když porovnáš odpálení 100g semtexu a snězení tabulky čokolády - uvolněná energie je v obou případech zhruba stejná.

Nádherné přirovnání :-)

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2019 11:01 — Editoval karelpavlis (15. 05. 2019 11:02)

Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#2 15. 05. 2019 13:34

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#3 15. 05. 2019 13:58

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#4 15. 05. 2019 14:13

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#5 15. 05. 2019 14:22

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#6 15. 05. 2019 15:20

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

karelpavlis napsal(a):

karelpavlis napsal(a):

#7 15. 05. 2019 16:02

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#8 15. 05. 2019 16:35

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#9 16. 05. 2019 04:24

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#10 16. 05. 2019 07:01

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#11 16. 05. 2019 07:51

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

edison napsal(a):

#12 16. 05. 2019 10:18 — Editoval MichalAld (16. 05. 2019 10:24)

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#13 17. 05. 2019 18:27 — Editoval KennyMcCormick (04. 06. 2019 19:37)

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#14 17. 05. 2019 18:57

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#15 17. 05. 2019 21:25

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#16 18. 05. 2019 07:46

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#17 18. 05. 2019 11:49

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#18 18. 05. 2019 12:01

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#19 18. 05. 2019 12:34

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#20 18. 05. 2019 12:40

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

Fendir napsal(a):

#21 19. 05. 2019 00:10 — Editoval KennyMcCormick (21. 05. 2019 14:44)

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#22 19. 05. 2019 03:45 Příspěvek uživatele KennyMcCormick byl skryt uživatelem KennyMcCormick.

#23 19. 05. 2019 03:46 — Editoval KennyMcCormick (19. 05. 2019 09:37)

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

#24 22. 05. 2019 09:18

Re: Vliv Slunce na tíhu tělesa na Zemi

MichalAld napsal(a):

MichalAld napsal(a):

Zápatí