Matematické Fórum

Monika1985 · 15. 05. 2019 12:29

Ahoj, mám nasledovný problém:

Nájdite a dokážte, že na danej množine je daný funkcionálny rad rovnomerné konvergentný

$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{nx-\left[nx\right]}{n^2}$

vôbec neviem, čo znamená to v čitateli [nx] a ako začať

byk7 · 15. 05. 2019 12:49

Zřejmě to značí dolní celou část.

Pro zadané reálné t, jakých hodnot může nabývat výraz $t-[t]$ ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pak by se hodilo znát Weierstrassovo kritérium.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/82039_1_Funkcni_posloupnosti_a_rady.pdf.png

Je vidět, jak to dokončit?

Monika1985 · 15. 05. 2019 18:40

↑ byk7:

ou :( tak tomuto vôbec nerozumiem... nič takéto sme v škole nepočítali, nemôžeš mi s tým pomôcť?

krakonoš

↑ Monika1985:
Ucili jste se ,ze x minus cela cast x je rovno slozene casti x?Cili nx minus cela cast nx bude slozena cast nx.
A ta je v absolutni hodnote mensi nez 1.
Radu muzeme odhadnout shora ciselnou majorantou nezavislou jiz na x.

Monika1985 · 15. 05. 2019 19:02

práveže vôbec nič, profák nám povedal, že sme to nestihli prebrať, ale že sa to máme sami doučiť :( a potrebujem to odovzdať, to nám dal zadanie

krakonoš · 15. 05. 2019 19:07

↑ Monika1985:
Priklad.
x je 3.72
cela cast bude 3
( jde o dolni celou cast,te se rika nekdy cela cast)
Slozena cast bude0,72.
Slozena cast je vlastne ten vzdy v absolutni hodnote mensi nez 1.

krakonoš · 15. 05. 2019 19:10

↑ Monika1985:
Radu muzeme odhadnout konvergentni ciselnou radou.Weistrassova veta rika,ze pak zadana rada stejnomerne konverguje.

Monika1985 · 15. 05. 2019 19:12

↑ krakonoš:

ok, zatiaľ celkom rozumiem, a ako ďalej? v tomto príklade som fakt bezradná

krakonoš · 15. 05. 2019 19:32

↑ Monika1985:
Radu se podarilo odhadnout ciselnou majorantou,takze je rada stejnomerne konvergentni.Pochopitelne i posloupnost funkci slozena cast deleno nnadruhou tak musi stejnomerne konvergovat k nule.To je dusledek te vety.
Podobne jako u bezne ciselne konvergentni rady lze rict,ze limita clenu pro n jdouci do nekoonecna musi byt nulova.

krakonoš · 15. 05. 2019 19:47

↑ Monika1985:
Ono to je vlastne stejne,jako kdybys vysetrovala ciselnou radu s parametrem x.
To, proc konverguje rada 1/ n nadruhou jste urcite brali,staci to porovnat s radou 1/ n.(n-1)

Monika1985

↑ krakonoš:

dobre to chápem, že by som mala mať:
$\left|\frac{nx-\left[nx\right]}{n^2}\right|\le \frac{1}{n^2}$

rad $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{1}{n^2}$ konverguje na intervale (0;1)

takže aj rad $\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{nx-\left[nx\right]}{n^2}$ rovnomerne konverguje na (0,1)?

krakonoš · 15. 05. 2019 20:26

↑ Monika1985:
Suma(1/n nadruhou) konverguje.Je to ciselna rada.Jde o radu 1 plus 1/4 plus 1/9.... To nema s intervalem (0,1) nic spolecneho.A odhadnout absolutni hodnotu slozene casti shora jednickou muzes udelat pro jakekoli cislo.

Monika1985 · 15. 05. 2019 20:27

↑ krakonoš:

tak ako to má byť teda?

krakonoš · 15. 05. 2019 20:35

↑ Monika1985:

Rad konverguje stejnomerne na R

Monika1985 · 15. 05. 2019 20:36

↑ krakonoš:

tak potom celkom dobre nechápem, prečo musím riešiť ten interval na začiatku :)

byk7 · 15. 05. 2019 21:02 — Editoval byk7 (15. 05. 2019 21:03)

↑ Monika1985:

Abych to napasoval přímo na to výše uvedené kritérium, tak v našem případě $D=M=\mathbb R$ , pak
$\forall x\in\mathbb R:\left|\frac{nx-[nx]}{n^2}\right|\le\frac{1}{n^2}$ .
Protože $\Sigma_{n\ge1}1/n^2$ konverguje, tak řada
$\sum _{n=1}^{\infty }\:\frac{nx-\left[nx\right]}{n^2}$
konverguje stejnoměrně na $\mathbb R$ .

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2019 12:29

Rovnomerná konvergencia

#2 15. 05. 2019 12:49

Re: Rovnomerná konvergencia

#3 15. 05. 2019 18:40

Re: Rovnomerná konvergencia

#4 15. 05. 2019 19:01 — Editoval krakonoš (15. 05. 2019 19:04)

Re: Rovnomerná konvergencia

#5 15. 05. 2019 19:02

Re: Rovnomerná konvergencia

#6 15. 05. 2019 19:07

Re: Rovnomerná konvergencia

#7 15. 05. 2019 19:10

Re: Rovnomerná konvergencia

#8 15. 05. 2019 19:12

Re: Rovnomerná konvergencia

#9 15. 05. 2019 19:32

Re: Rovnomerná konvergencia

#10 15. 05. 2019 19:47

Re: Rovnomerná konvergencia

#11 15. 05. 2019 19:56 — Editoval Monika1985 (15. 05. 2019 20:05)

Re: Rovnomerná konvergencia

#12 15. 05. 2019 20:26

Re: Rovnomerná konvergencia

#13 15. 05. 2019 20:27

Re: Rovnomerná konvergencia

#14 15. 05. 2019 20:35

Re: Rovnomerná konvergencia

#15 15. 05. 2019 20:36

Re: Rovnomerná konvergencia

#16 15. 05. 2019 21:02 — Editoval byk7 (15. 05. 2019 21:03)

Re: Rovnomerná konvergencia

Zápatí