Matematické Fórum

VMF · 25. 05. 2019 16:48 — Editoval VMF (25. 05. 2019 16:54)

Zdravím,

pomůže mi někdo vyřešit tuto rovnici:

$ln(x+\sqrt{x^2 -1}) = -iln(ix+\sqrt{1-x^2})$

zkoušel jsem pracovat s výrazy na každé straně zvlášť, ale to vedlo k tomu, že se neznámá odečetla.
Rovnice se tedy asi musí řešit jedině tak, že se logaritmus převede na jednu stranu do součtu, což se bude rovnat násobení logaritmů, ale mate mě to i před logaritmem.

Měly by vyjít dva komplexně sdružené kořeny.

Děkuju za rady.

byk7 · 26. 05. 2019 00:07

Co pro tebe znamená logaritmus s komplexním argumentem?

VMF · 28. 05. 2019 20:10

↑ byk7:

Logaritmus s komplenxím číslem si můžu přepsat do tvaru
$ln|z| + i\cdot phi$

kde |z| je velikost komplexního čísla a pfí je úhel, který svírá komplexní číslo s reálnou osou x. Velikost by byla
$\sqrt{x^{2} + 1-x^{2}} = 1$

Pokud tomu rozumím správně, akorát nevím jak na ten úhel fí.

byk7 · 29. 05. 2019 13:53 — Editoval byk7 (29. 05. 2019 14:02)

Počkat, ty teda předpokládáš, že $x$ je reálné číslo?

Jinak obecně
$\tan(\arg z)=\tan\varphi=\frac{\mathrm{Im}\,z}{\mathrm{Re}\,z}$ .

VMF · 31. 05. 2019 10:47

↑ byk7:
Ano, předpokládám, že $x$ je reálné číslo. Jedná se o komplexní funkce reálné proměnné.

byk7 · 31. 05. 2019 12:29

↑ VMF:

Pak to ale nemůže mít (reálné) řešení, protože pro argument platí
$\tan$\arg\(ix+\sqrt{1-x^2}$\)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\,}$
řešíte tedy rovnici
$\ln$x+\sqrt{x^2 -1}$ = \arctan$\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
ale levá strana je definovaná pro $x\ge1$ a naopak pravá je definovaná pro $x\in(-1,1)$ .
=> Ta rovnice nemá (reálné) řešení.

VMF · 31. 05. 2019 18:43

↑ byk7:

Pokud uvažuji reálnou funkci reálné proměnné, tak řešení nemá, tomu rozumím, ale pokud nad tím přemýšlím jako nad komplexní funkcí reálné proměnné (tedy R -> C), tak by rovnice měla mít jako řešení komplexní číslo(a).

Přidávám poznámku z učebnice:

Komplexní funkce f jedné reálné proměnné (dále jen komplexní funkce) je zobrazení M → C, kde M je podmnožinou reálných čísel. Evidentně f : M → C je komplexní funkce právě tehdy, když existují reálné funkce g, h : M → R takové, že f(x) = g(x) + ih(x) pro všechna x náležící M

byk7 · 31. 05. 2019 18:55 — Editoval byk7 (31. 05. 2019 20:09)

VMF napsal(a):
pokud nad tím přemýšlím jako nad komplexní funkcí reálné proměnné (tedy R -> C), tak by rovnice měla mít jako řešení komplexní číslo(a)

Nesouhlasím. Jestli je definičním oborem (pod)množina reálných čísel, tak ti nemůže vyjít (ryze) komplexní kořen.

VMF napsal(a):
Ano, předpokládám, že $x$ je reálné číslo. Jedná se o komplexní funkce reálné proměnné.

Asi by chtělo objastit, co jsou ty funkce reálné proměnné.
(1) Buď uvažuje odmocniny jako komplexní funkce reálné proměnné, ale pak nutně musíme uvažovat logaritmy jako komplexní funkce komplexní proměnné (kvůli pravé straně).
(2) Anebo uvažujeme logaritmy jako komplexní funkce reálné proměnné, což by znamenalo omezit se na jistou podmnožinu komplexní čísel, konkrétně $\{x\in\mathbb C\mid\text{Im}$x+\sqrt{x^2-1}$=\text{Im}$ix+\sqrt{1-x^2}$=0\}$ .

Takže, jak to tedy je?

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2019 16:48 — Editoval VMF (25. 05. 2019 16:54)

Rovnice s odmocninami v součinu

#2 26. 05. 2019 00:07

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

#3 28. 05. 2019 20:10

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

#4 29. 05. 2019 13:53 — Editoval byk7 (29. 05. 2019 14:02)

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

#5 31. 05. 2019 10:47

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

#6 31. 05. 2019 12:29

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

#7 31. 05. 2019 18:43

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

#8 31. 05. 2019 18:55 — Editoval byk7 (31. 05. 2019 20:09)

Re: Rovnice s odmocninami v součinu

VMF napsal(a):

VMF napsal(a):

Zápatí