Matematické Fórum

vojtam888 · 31. 05. 2019 17:32

Ahoj, mám problém s determinantem pro tuto matici. Saurussovým pravidlem i pomocí Laplaceova vzorce mi vyšel výsledek -43. Když jsem ale počítal schodovitý tvvar tak mi vyšlo -817/5 :D Zajímalo by mě, kde jsem udělal chybu :)

5 4 8
6 1 0
2 3 9

1 4/5 8/5
6 1 0
2 3 9

1 4/5 8/5
0 -19/5 -48/5
0 7/5 29/5

1 4/5 8/5
0 -19/5 -48/5
0 0 215/5

1*-19/5*215/5=-817/5

byk7 · 31. 05. 2019 17:45

(1) Vydělením prvního řádku pěti jsi změnil hodnotu determinantu.
(2)
$\frac{29}{5}+\frac{7}{19}$-\frac{48}{5}$=\frac{43}{19}\neq\frac{215}{5}$

vojtam888 · 31. 05. 2019 17:50

↑ byk7:

Teď tedy uplne nechapu jak jsem měl postupovat, abych se dobral k -43?

byk7 · 31. 05. 2019 17:54

Nedělit první řádek.
$(6,1,0)-\frac{6}{5}(5,4,8)=$0,-\frac{19}{5},-\frac{48}{5}$$ atp.

Anebo potom nazpět výsledný determinant vanásobit zpětně pěti.

vojtam888 · 31. 05. 2019 18:01

↑ byk7:

aha a když se vrátím k tomu bodu 2 jak jsi psal

tak já to dělal tak, že jsem druhý řádek vynásobil 7 a třetí řádek vynásobil 19. Pak jsem ty řádky sečetl. Proto mi vyšlo těch 215/5. Tak to upravit nemůžu?

byk7 · 31. 05. 2019 18:22

↑ vojtam888:

No, můžeš, ale zapomínáš zas původní determinant vydělit 19, viz hned první vlastnost.
$\det\begin{pmatrix} 5&4&8 \\ 6&1&0 \\ 2&3&9 \end{pmatrix}&=5\cdot\det\begin{pmatrix} 1&\frac{4}{5}&\frac{8}{5} \\ 6&1&0 \\ 2&3&9 \end{pmatrix}=5\cdot\det\begin{pmatrix} 1&\frac{4}{5}&\frac{8}{5} \\ \ \\ 0&-\frac{19}{5}&-\frac{48}{5} \\ \ \\ 0&\frac{7}{5}&\frac{29}{5} \end{pmatrix}=\frac{5}{19}\cdot\det\begin{pmatrix} 1&\frac{4}{5}&\frac{8}{5} \\ \ \\ 0&-\frac{19}{5}&-\frac{48}{5} \\ \ \\ 0&\frac{133}{5}&\frac{551}{5} \end{pmatrix}= \\ &=\frac{5}{19}\cdot\det\begin{pmatrix} 1&\frac{4}{5}&\frac{8}{5} \\ \ \\ 0&-\frac{19}{5}&-\frac{48}{5} \\ \ \\ 0&0&43 \end{pmatrix}=\frac{5}{19}\cdot1\cdot$-\frac{19}{5}$\cdot43=-43$

vojtam888 · 01. 06. 2019 13:43

↑ byk7:

Aha, takže když chci sečíst násobek druhého a násobek třetího řádku, tak musím nejdřív jeden z těch řádků urpavit jakoby sám a rozdělit si to na dva kroky?

byk7 · 01. 06. 2019 16:29

↑ vojtam888:

Není to nutné, ale je potřeba si dávat pozor na to, co člověk dělá.

Uvažme čtvercovou matici $A$ s řádky $r_1,\ldots,r_n$ a $c\neq0$ , pak

(1)
$\det A=\det\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_i \\ \vdots \\ r_j \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_i \\ \vdots \\ r_j+dr_i \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}$

(2)
$\det A=\det\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_i \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}=\frac{1}{c}\det\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ cr_i \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}$

(3) a kombinací
$\det A=\det\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_i \\ \vdots \\ r_j \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}=\frac{1}{c}\det\begin{pmatrix} r_1 \\ \vdots \\ r_i \\ \vdots \\ cr_j+dr_i \\ \vdots \\ r_n \end{pmatrix}$

A podobně pro sloupce.