Matematické Fórum

Peetrs · 03. 06. 2019 14:40

Ahoj, prosím o radu, jak dopočítat tento příklad, případně mě opravit, kde dělám chybu.

$\Delta ^{2}a-3(\Delta (a_{n})+1)=0$
$a_{n+2}-2_{n+1}+a_{n}-3(_{n+1}-a_{n}+1)=0$
$a_{n+2}-5a_{n+1}+4a_{n}-3=0$
.
.
.

výsledek by měl být $a_{n}=c_{1}-n+c_{2}\cdot 4^{n}$

Rumburak · 03. 06. 2019 15:40

↑ Peetrs:

Ahoj.
Rovnici
$a_{n+2}-5a_{n+1}+4a_{n}-3=0$

lze upravit na tvar

$(a_{n+2} - a_{n+1}) - 4(a_{n+1}-a_n) = 3$ ,

dále bych zkusil substituci $\Delta a_n = b_n$ , čímž dostaneme

$b_{n+1} - 4b_n = 3$ ,

tedy diferenční rovnici, jejíž řád je o 1 nižší než u rovnice původní.

Peetrs · 03. 06. 2019 16:21

↑ Rumburak:

No, dobře. Se substitucí jsem se v tomto případě ještě nesetkal, takže vůbec nevím jak dál.
Dokážu spočítat maximálně $k=\frac{1}{4}$ (doufám, že je to správně) a dál jsem opět ztracený...

laszky · 03. 06. 2019 18:05

↑ Peetrs:

Ahoj. Pouzij stejnej postup jako u diferencialnich rovnic:

1) Hledej reseni homogenni rovnice ve tvaru $a_n=\lambda^n$
2) Partikularni reseni nalezni variaci konstant, tzn:

$a_n = p_n\cdot\lambda_1^n + q_n\cdot\lambda_2^n$

$a_{n+1}-a_n = \underbrace{(p_{n+1}-p_n)\lambda_1^n + (q_{n+1}-q_n)\lambda_2^n}_{=0} + (\lambda_1-1)p_{n+1}\lambda_1^n + (\lambda_2-1)q_{n+1}\lambda_2^n$
$(a_{n+2}-a_{n+1})-4(a_{n+1}-a_n) = (\lambda_1-1)p_{n+2}\lambda_1^{n+1} + (\lambda_2-1)q_{n+2}\lambda_2^{n+1} - 4\Bigr((\lambda_1-1)p_{n+1}\lambda_1^n + (\lambda_2-1)q_{n+1}\lambda_2^n\Bigr) = 3$

Z toho vypoctes, cemu se rovna $p_{n+1}-p_n$ a $q_{n+1}-q_n$

Nasledne

$p_n=p_0 + \sum_{k=0}^{n-1}p_{k+1}-p_{k}$
$q_n=q_0 + \sum_{k=0}^{n-1}q_{k+1}-q_{k}$

Marian · 04. 06. 2019 21:09 — Editoval Marian (04. 06. 2019 21:11)

↑ laszky:
Nerozumím tomu, že k vyřešení diferenční rovnice postačí hledat řešení jen v nějakém kokrétním tvaru. To by se muselo dokázat, že žádný jiný tvar se už hledat nemusí.

↑ Peetrs:
Pokud to má být charakteristický kořen, potom to dobře není.

Souhlasím s poznámkou Rumburaka (↑ Rumburak:), která vede korektně k cíli (třeba po vhodném podělení a následné sumaci teleskopu).

Navrhuji však řešit danou rovnici metodou odhadu partikulárního řešení (někdy též metoda neurčitých koeficientů, viz dále) s využitím skutečnosti, že řešení každé lineární diferenční rovnice s konstantními koeficienty jako v zadání lze vždy psát jako

$a_n=a_{n,h}+a_{n,p},$

kde a_n,h, resp. a_n,p označuje řešení přidružené homogenní diferenční rovnice a a_n,p nějaké partikulární řešení (nalezitelné metodou odhadu kvůli "speciánímu" tvaru pravé strany).

Navrhuji tak tyto konkrétní kroky:
1. Sestav a vyřeš charakteristckou rovnici ke tvé diferenční rovnici (obyčejná kvadratická rovnice).
2. Na základě tvaru charakteristických kořenů sestav homogenní část řešení a_n,h.
3. Na základě tvaru pravé strany rovnice (konstantní posloupnost "3") a hodnotách charakteristických kořenů odhadni tvar partikulárního řešení a_n,p jako

$a_{n,p}=A\cdot n^t$ ,

kde t je prvkem množiny {0,1,2} a souvisí s tvarem pravé strany a s charakteristickými kořeny a A je prozatím neurčený koefieicient, který lze snadno stanovit.
4. Dosaď odhadnutý tvar partikulárního řešení a_n,p do řešené lineární diferenční rovnice a porovnáním koeficientů na obou stranách vzniklé rovnosti dostáváš hodnotu pro koeficient A.
5. Sestav tvar obecného řešení jako součet homogenní a partikulární složky, jak je zmíněno výše.

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2019 14:40

Diferenční rovnice

#2 03. 06. 2019 15:40

Re: Diferenční rovnice

#3 03. 06. 2019 16:21

Re: Diferenční rovnice

#4 03. 06. 2019 18:05

Re: Diferenční rovnice

#5 04. 06. 2019 21:09 — Editoval Marian (04. 06. 2019 21:11)

Re: Diferenční rovnice

Zápatí