Matematické Fórum

UNO · 08. 06. 2019 09:18

Zdravím.
Mohli byste mi prosím poradit, jak na tento příklad?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/78166_2.6.2015.png

Výsledkem by mělo být 73 min, já ale docházím k jiným výsledkům. Jak na to?

edison · 08. 06. 2019 21:41

Teda tak tohle vypadá překvapivě složitě:-)

Tady nějaký řešený příklad:
http://reseneulohy.cz/1154/vytekani-vod … ame-spunt)

Nebo obecně, bez zajímání se o díru:
https://cs.wikipedia.org/wiki/Pln%C4%9B … 1dr%C5%BEe

Kdyby to nebylo jasné, zkus se pak zeptat na konkrétní věci. Čím konkrétnější dotaz, tím vyšší šance, že někdo (dříve) odpoví.

Pokud ti ty věci v odkazech nic neříkají, napiš hlavně jaká je úroveň tvé školy. Tohle je v podstatě VŠ záležitost, ale dokážu si představit okolnosti, že by se takto zadaný příklad řešil na SŠ, nebo snad i ZŠ, ale přístup by byl hodně jiný.

UNO · 09. 06. 2019 10:26

Děkuji za rady, omrknu odkazy detailněji. Jedná se o příklad ze zkoušky, kde je na každý příklad cca 6 min, takže se domnívám, že v tom musí být nějaký jednodušší fígl, který nevidím, než řešení diferenciálních rovnic.

MichalAld · 09. 06. 2019 13:31

Sestavit příslušnou diferenciální rovici je podle mě ta jednodušší část úlohy...

Pokud tedy vyjdeme ze zjednodušujícího předpokladu (nic jiného nám ani nezbývá) že výtoková rychlost je určená vztahem

$v = k \sqrt{2gh}$

kde k je nějaká konstanta (výtokový koeficient) jež nezávisí na výtokové rychlosti (ve skutečnosti na ní závisí, způsobem, který lze spíš změřit než vypočítat).

Objem válcové nádrže je

$V = S_nh$

průtok je

$q=S_ov=S_ok\sqrt{2gh}$

a zároveň je průtok roven časové změně objemu té nádrže, tedy

$q=\frac{dV}{dt}=S_n\frac{dh}{dt}$

Položíme do rovnosti a máme to:

$S_n\frac{dh}{dt}=S_ok\sqrt{2gh}$

Lehce upravíme

$\frac{S_n}{S_ok} \frac{1}{\sqrt{2g}} \frac{dh}{\sqrt{h}} = dt$

Všechny ty konstanty nalevo nahradíme jedinou novou konstantou, třeba "a"

$a h^{-\frac{1}{2}}dh=dt$

A po zintegrování (pokud to dělám správně) dostaneme - objeví se tam další konstanta, takže zavedeme místo "a" novou konstantu "b" do které to zase schováme

$b h^{\frac{1}{2}}=t$

$h = ct^2$

Ještě by se tam měla objevit konstanta pocházející z integrování, viděl bych to něco jako

$h = c(t-t_0)^2$

Posud je to celkem snadné, skutečná práce začíná teprve nyní ...