Matematické Fórum

leniczcha · 31. 05. 2009 06:44

Napište rovnici tečny ke kružnici, která je rovnoběžná s danou přímkou:

x^2 + y^2 = 4

x = 2 + 4t
y = 3 + 3t

Mara321 · 31. 05. 2009 09:18

teoreticky by ty tečny měly byt 2, ale vic asi neporadim :-(

adamo · 31. 05. 2009 09:20 — Editoval adamo (31. 05. 2009 09:45)

1) Vypiš si směrový vektor (2,3) převeď jej na normálový vektor, např. (3,-2) a sestav obecnou rovnici přímky s parametrem c. Normálně bys potřebovala dosadit ještě bod ležící na přímce, abys zjistila parametr c, ale ten je ti v tomto případě na nic, protože hledáš rovnoběžku. Mě vyšlo: $t: 3x-2y+c=0$
2) z této rovnice si vyjádři libovolnou proměnnou, já volím x: $x=\frac{2y-c}{3}$
3) dosadíš do rovnice kružnice a poupravuješ. Vyšla mi kvadratická: $13y^2-4cy+c^2-36=0$
4) vypočítáš diskriminant a položíš roven nule, protože pokud je D=0 pak bude ta přímka mít pouze jeden společný bod:
$D=16c^2-4.13.(c^2-36) \nl 16c^2-52c^2-1872 = 0 \nl c^2 = 52 \nl c_1 = \sqrt{52} \nl c_2 = -\sqrt{52} \nl$

No takže výsledné tečny jsou:
$t_1: 3x-2y+\sqrt{52}=0 \nl t_2: 3x-2y-\sqrt{52}=0$

Doufám že jsem neudělal chybu, jsou to docela netradiční čísla... Každopádně po nakreslení to vyšlo...

adamo · 31. 05. 2009 09:42

A ještě obrázek:
Růžová je původní přímka, oranžová a modrá jsou tečny

leniczcha · 31. 05. 2009 12:21

Vyšlo mi to také, ale obecná rovnice mi vyšla:

3x - 2y - c = 0

c1 a c2 mi vyšlo stejně.

Je možné rovnici napsat parametricky?

marnes · 31. 05. 2009 13:28

↑ leniczcha:
1) K té obecné rovnici. Je takové nepsané pravidlo - nebo je lepší psát- +c do obecné rovnice. Proč? V tomto příkladě to bylo jedno, protože ti vyšly kořeny opačná čísla. Kdyby ti ale vyšlo číslo třeba -4 a 5, tak ty by jsi si musela dát pozor při psaní rovnice na to mínus před c a musela by jis dosadit -(-4) a -5. Zatímco když tam budeš mít v obecné rovnici plus c, tak jen dosadíš čísla, která ti vyšla

2) K té parametrické rovnici. Určitě, ale je to zbytečné. Napíšu k t1. Z obecné rovnice vyčtu normálový vektor (3;-2) a napíšu směrový, potřebný k PR u=(2;3)

x= Xa+2t
y= Ya+3t t patří R Ještě potřebuješ bod, kterým přímka prochází A=[Xa;Ya] nejlépe je si za Xa zvolit nulu Xa=0 a dosazením do OR vypočítat Ya. Pro náš případ vyjde Ya=odm(52)/2=odm(13)

x= 2t
y= odm(13)+3t t patří R

leniczcha · 31. 05. 2009 13:37

Mělo by vyjít:
x = 2 + 4t
y = 4 + 3t

a

x = 2 + 4t
y = -1 + 3t

marnes · 31. 05. 2009 13:42 — Editoval marnes (31. 05. 2009 13:43)

↑ leniczcha:
$t_1: 3x-2y+\sqrt{52}=0 \nlt_2: 3x-2y-\sqrt{52}=0$ Jestli se bavíme o těchto rovnicích, tak to určitě ne. Už jen směrový vektor je špatně

leniczcha · 31. 05. 2009 13:48

Takže v tomto případě jsou tyto rovnice špatně, protože výsledek k zadání:
Napište rovnici tečny ke kružnici, která je rovnoběžná s danou přímkou:

x^2 + y^2 = 4

x = 2 + 4t
y = 3 + 3t

Výsledek:

x = 2 + 4t
y = 4 + 3t

a

x = 2 + 4t
y = -1 + 3t

marnes · 31. 05. 2009 14:05

↑ leniczcha:Ano, pak jsou rovnice špatně, protože směrový vektor musí být stejný, tj (4;3) Obecné rovnice tečen musí začínat 3x-4y+c=0

Lucas89 · 03. 02. 2015 21:09

Můžete mi s tímto nějak pomoct? Nějak tomu všemu moc nerozumím :/ pochopil bych ten diskriminant, ale nevím, jak se dostaneme k tomu výsledku

$x = 2 + 4t$ , $y = 4 + 3t$ nebo $x = 2 + 4t$ , $y = -1 + 3t$

jelena · 04. 02. 2015 09:27

↑ Lucas89:

Zdravím,

pokud je dotaz k původní úloze

Napište rovnici tečny ke kružnici, která je rovnoběžná s danou přímkou:

x^2 + y^2 = 4

x = 2 + 4t
y = 3 + 3t

potom pomocí D jsi měl dojit k souřadnicím bodů doteku (jsou na kružnici, kružnice má s tečnou jeden společný bod, ovšem takových tečen rovnoběžných se zadanou přímkou může být 2 - pokud sama přímka již není tečnou, potom + další jedna). Rovnoběžné přímky mají stejný směrový vektor se zadanou přímkou. To se objeví ve směrovém vektoru nových přímek:
x = 2 + 4t
y = 4 + 3t
a
x = 2 + 4t
y = -1 + 3t

V tématu se ale diskutuje, že něco je chybně v postupu, nebo neshoda s výsledky (?), tak snad ještě projít celý postup od začátku.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2009 06:44

Rovnice tečny ke kružnici

#2 31. 05. 2009 09:18

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#3 31. 05. 2009 09:20 — Editoval adamo (31. 05. 2009 09:45)

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#4 31. 05. 2009 09:42

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#5 31. 05. 2009 12:21

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#6 31. 05. 2009 13:28

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#7 31. 05. 2009 13:37

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#8 31. 05. 2009 13:42 — Editoval marnes (31. 05. 2009 13:43)

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#9 31. 05. 2009 13:48

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#10 31. 05. 2009 14:05

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#11 03. 02. 2015 21:09

Re: Rovnice tečny ke kružnici

#12 04. 02. 2015 09:27

Re: Rovnice tečny ke kružnici

Zápatí