Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#2 09. 06. 2019 04:08 — Editoval laszky (09. 06. 2019 13:50)
Re: Improper integral with parameters
.
and 
)
there holds
we obtain
Offline
#3 09. 06. 2019 19:38
Re: Improper integral with parameters
a dostaneme
a tiez 
. Z toho![$I=\int_{-\infty}^0\frac{2xdy}{x^2+ax+1}=\int_{-\infty}^0\frac{2dy}{y^2+2+a}=\left[\frac{2}{\sqrt{a+2}}\arctan\frac{y}{\sqrt{a+2}}\right]_{-\infty}^0=\frac{\pi}{\sqrt{a+2}}$](/mathtex/63/63594f348747e9b4a9c0d62df5e7539c.gif "kopírovat do textarea")
Offline
#4 09. 06. 2019 19:54
Re: Improper integral with parameters
↑ laszky:
Thanks for your analysis. I will take more detailed look at it at a later time. My approach was different. Here it is...
![$
I&:=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}\cdot\left (x^2+ax+1\right )\cdot\sum\limits_{0\le j\le n}(-x^j)}\,\mathrm dx\\[3mm]
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{t^{2n+1}}{\sqrt{t}\cdot\left (1+at+t^2\right )\cdot\sum\limits_{0\le j\le n}(-t^j)}\,\mathrm dt.
$](/mathtex/41/41aadd5d0068ba329bdaceafe1ae4afa.gif "kopírovat do textarea")
![$
2I
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2n+1}+1}{\sqrt{x}\cdot\left (1+ax+x^2\right )\cdot\sum\limits_{0\le j\le n}(-x^j)}\,\mathrm dx\\[3mm]
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x}\cdot\left (1+ax+x^2\right )}\,\mathrm dx\\[3mm]
&=2\int_{0}^{+\infty}\frac{u^2+1}{u\cdot\left (1+au^2+u^4\right )}\cdot u\,\mathrm du.
$](/mathtex/ab/ab61b60ab65059349b61cc29fe42cc26.gif "kopírovat do textarea")
![$
I&=\int_{0}^{+\infty}\frac{\mathrm d\left (u-\frac{1}{u}\right )}{\left (u-\frac{1}{u}\right )^2+a+2}\\[3mm]
&=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{v^2+(a+2)}\,\mathrm dv\\[3mm]
&=\boldsymbol{\frac{\pi}{2\sqrt{a+2}}}.
$](/mathtex/59/59166db66bf6e3f9dc7f7ff8d697fa76.gif "kopírovat do textarea")
Offline
to 