Matematické Fórum

1jirka22

Ahoj, potřeboval bych malou radu mám vypočítat tento dvojný integrál: $\int_{}^{}\int_{M}^{}\frac{1}{6}|x|\cdot y dxdy$
Po této množině M: $x^{2}+\frac{y^{2}}{9}\le 1, y\ge x\sqrt{3}$
Udělal jsem převod na polární souřadnice
$x=a\cdot r\cdot cos\varphi$
$y=b\cdot r\cdot sin\varphi$
kde
$0\le r\le 1$
$\frac{\pi }{3}\le \varphi\le \frac{5\pi }{6}$
Mám integrál rozdělit na dva dvojné integrály a určit si nulový bod? Ve kterém se láme kladná hodnota a záporná? Jde mi o cosinus - ten se láme v $\frac{\pi }{2}$
$\frac{1}{6}$ $\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{1}$ $r^{2}\cdot sin\varphi \cdot cos\varphi abrdrd\varphi + \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{5\pi }{6}}\int_{0}^{1}-r^{2}\cdot sin\varphi \cdot cos\varphi abrdrd\varphi$
Je to takto dobře?
Díky moc za rady :)

laszky · 12. 06. 2019 00:44 — Editoval laszky (12. 06. 2019 00:48)

↑ 1jirka22:

Ahoj, myslim, ze:

1) Meze pro $\varphi$ by mely byt $\pi/6\leq \varphi\leq 7\pi/6$
2) Chybi ti dosadit $a=1$ a $b=3$
3) Pri transformaci souradnic bys mel jeste zkusit spocitat Jakobian.
4) Kam se podela ta jedna sestina?
5) Nema v tom puvodnim integralu byt dx dy ?

1jirka22

↑ laszky:
promiň, psal jsem to rychle, jasně, že máš pravdu s tim dx dy jsem se spletl na začátku, jakobián chybí ten je a.b.r, i jedna šestina chybí
Tam je směrnice $\sqrt{3}$ takže úhel 60°. Ale potom se udělal chybu, udělal jsem z toho absolutní hodnotu. Ale ta spodní mez by měla být $\frac{\pi }{3}$ , do $\frac{4\pi }{3}$ ne ? :)
Ale teď jsem pouze myslel, jestli jde rozdělit takto integrál? :)

laszky · 12. 06. 2019 01:07

↑ 1jirka22:

Pruseciky primky a elipsy maji souradnice $\left[\sqrt{3}/2,3/2\right]$ a $\left[-\sqrt{3}/2,-3/2\right]$ . Jsou to tedy body

$x_1=\cos\frac{\pi}{6}$ a $y_1=3\sin\frac{\pi}{6}$
$x_2=\cos\frac{7\pi}{6}$ a $y_2=3\sin\frac{7\pi}{6}$

Takze meze pro $\varphi$ jsou $\pi/6\leq \varphi\leq 7\pi/6$ .

Integral rozdelit lze ;-)

1jirka22 · 12. 06. 2019 01:09

↑ laszky:
Takže to jde uplně takovým způsobem? :) Když přimhouříš oči nad mezemi integrálu :)

laszky · 12. 06. 2019 01:11

↑ 1jirka22:

Ano :-)

1jirka22

↑ laszky:
jenom ty meze pro $\varphi$
Ty průsečíky tak mají být :) Ale když uděláš $tan\frac{1,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=60°=\frac{\pi }{3}$
ale těch 60° vyplývá už ze směrnice té přímky, ne? :)

laszky · 12. 06. 2019 01:17

↑ 1jirka22:

To by platilo pro kruznici. Elipsa je "zmacknuta", takze tam ten uhel neodpovida tomu, co bys cekal.

1jirka22 · 12. 06. 2019 01:20

↑ laszky:
A mohl by si mi prosím vysvětlit, jak přijít na ten úhel? :) $\varphi$

laszky · 12. 06. 2019 01:25

↑ 1jirka22:

Spocitas pruseciky. Vis, ze nove souradnice jsou $x=r\cos\varphi$ a $y=3r\sin\varphi$ . Na hranici je $r=1$ , takze ti uz zbyva jen dopocitat $\varphi$ tak, aby platilo

$\cos\varphi=\sqrt{3}/2$ nebo $3\sin\varphi=3/2$

Obdobne pro ten druhej bod.