Matematické Fórum

Kleanthés · 12. 06. 2019 17:51

$V(n): (1+\frac{1}{3})^{n} \ge 1+\frac{n}{3}$

1) $V(1): (1+\frac{1}{3})^{1} \ge 1+\frac{1}{3}$

2) $V(k)\Rightarrow V(k+1): [(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 1+\frac{k}{3}] \Rightarrow [(1+\frac{1}{3})^{k+1} \ge 1+\frac{k+1}{3}]$

$(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 1+\frac{k}{3}+\frac{1}{3}$

$4(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 3(1+\frac{k}{3})+1$ nyní provedu indukční krok

$(1+\frac{1}{3})^{k} \ge 1$

$4^{k} \ge 3^{k}$

$\square$

Můj dotaz zní: Je správně ten indukční krok nebo jak by se dalo jinak postupovat?

krakonoš

Ve ctvrtem radku se da primo uz pouzit indukcni predpoklad,kde prava strana indukcniho predpokladu ,tedy nerovnosti bude vynasobena 4/3.Pak staci
zavorku roznasobit a porovnat 4/3 +(4/9)k s tim co ma vyjit

Kleanthés · 12. 06. 2019 19:18

↑ krakonoš:

$\frac{4}{3}(1+\frac{1}{3})^{k} \ge (\frac{4}{3}+\frac{k}{3}=\frac{4}{3}+\frac{4k}{9})$
$0 \ge -\frac{k}{9}$
$k \ge 0$

Takto? A ten předchozí postup byl v pořádku?

krakonoš

↑ Kleanthés:prava strana nerovnice po vyuziti induk predpokladu
4/3*(1+k/3)=4/3+k*4/9>4/3+k/3
Musis se vzdy drzet toho,co mas dokazat.

Kleanthés · 12. 06. 2019 20:44

↑ krakonoš:

Tedy bych mohl završení důkazu napsat takto?

$\frac{4}{3}(1+\frac{1}{3})^{k} \ge \frac{4}{3}+\frac{4k}{9} > \frac{4}{3}+\frac{k}{3}$

Z toho již plyne, co jsme chtěli dokázat. A proč nemůže být závěr k >= 0 apod., když jsme k tomu dospěli na základě ekvivalentních vztahů?

krakonoš · 12. 06. 2019 21:54

↑ Kleanthés:
Z tveho posledniho kroku(ctyri na ktou je rovno nebo vetsi nez tri na ktou) zpetne vyplyva predposledni vztah. Tyto dva vztahy jsou skutecne ekvivalentni.Ovsem z predposledniho vztahu zpetne nevyplyva ten predpredposledni.

kerajs · 13. 06. 2019 05:37 — Editoval kerajs (13. 06. 2019 12:27)

Kleanthés napsal(a):
jak by se dalo jinak postupovat?

$n\ge 2 \ : \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\ (1+\frac{1}{3})^{n}=1+ {n \choose 1} \frac{1}{3}+ \sum_{i=2}^{n} {n \choose i} \left( \frac{1}{3} \right)^i = 1+ \frac{n}{3}+ \sum_{i=2}^{n} {n \choose i} \left( \frac{1}{3} \right)^i$

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2019 17:51

Matematická indukce

#2 12. 06. 2019 18:35 — Editoval krakonoš (12. 06. 2019 18:40)

Re: Matematická indukce

#3 12. 06. 2019 19:18

Re: Matematická indukce

#4 12. 06. 2019 19:35 — Editoval krakonoš (12. 06. 2019 19:53)

Re: Matematická indukce

#5 12. 06. 2019 20:44

Re: Matematická indukce

#6 12. 06. 2019 21:54

Re: Matematická indukce

#7 13. 06. 2019 05:37 — Editoval kerajs (13. 06. 2019 12:27)

Re: Matematická indukce

Kleanthés napsal(a):

Zápatí