Matematické Fórum

alixer · 18. 06. 2019 18:31

Dobrý den,

řeším příklad se soustavou lineárních rovnic s parametrem.

Zadaní je :
$x+(p-1)y-z = 0 \\ y+z = 1\\ (p-1)x+ 3y + z = p$

Což jsem si přepsal do matice
$\begin{pmatrix} 1& (p-1) &-1 &0 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ (p-1)&3 & 1&p \end{pmatrix}$

S touto maticí ale nevím jak dále postupovat, jelikož ji nedokážu dostat do horního trojúhelníkového tvaru. Může mi někdo ukázat postup úpravy ?

Děkuji.

Ferdish

Nebude jednoduchšie z druhej rovnice vyjadriť z pomocou y, dosadiť do zvyšných dvoch a riešiť sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych? Alebo to musíte nutne riešiť cez matice?

alixer · 18. 06. 2019 19:12

↑ Ferdish:

Je nutné řešení pomocí matice do trojúhelníkového tvaru a následné vyjadřování proměnných odspodu matice.

kerajs · 18. 06. 2019 19:14

Jinak:
$det \begin{pmatrix} 1& (p-1) &-1 \\ 0& 1 & 1 \\ (p-1)&3 & 1 \end{pmatrix}=$ $1-(p-1)^2+(p-1)-3=-[(p-1)-\frac12]^2-\frac74<0$

https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo

laszky · 18. 06. 2019 20:46

↑ kerajs:

$\det \begin{pmatrix} 1& (p-1) &-1 \\ 0& 1 & 1 \\ (p-1)&3 & 1 \end{pmatrix}= 1 {\color{red}+} (p-1)^2+(p-1)-3 = (p+1)(p-2)$

kerajs · 18. 06. 2019 21:21 — Editoval kerajs (18. 06. 2019 21:28)

Ano

laszky napsal(a):
↑ kerajs:
$\det \begin{pmatrix} 1& (p-1) &-1 \\ 0& 1 & 1 \\ (p-1)&3 & 1 \end{pmatrix}= 1 {\color{red}+} (p-1)^2+(p-1)-3 = (p+1)(p-2)$

a)
soustava má jedno řešení pro $p \in \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}$
https://cs.wikipedia.org/wiki/Cramerovo_pravidlo

b)
$p =-1 \ \ \Rightarrow$
$\begin{cases} x+(-1-1)y-z = 0 \\ y+z = 1\\ (-1-1)x+ 3y + z = -1 \end{cases}$

c)
$p =2 \ \ \Rightarrow$
$\begin{cases} x+(2-1)y-z = 0 \\ y+z = 1\\ (2-1)x+ 3y + z = 2 \end{cases}$

jarrro · 19. 06. 2019 01:12

$\begin{pmatrix} 1& (p-1) &-1 &0 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ (p-1)&3 & 1&p \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1 & (p-1) &-1 &0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 3-$p-1$^2 & p& p \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1 & (p-1) &-1 &0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & p-$3-\(p-1$^2 \)& p-$3-\(p-1$^2\)\end{pmatrix}\stackrel{$p-1$^2+p-3\neq 0}{\sim}\nl\stackrel{$p-1$^2+p-3\neq 0}{\sim}\begin{pmatrix} 1& (p-1) &-1 &0 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ 0&0 & 1&1 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1& 0 &-p &1-p \\ 0& 1 & 1 & 1\\ 0&0 & 1&1 \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1& 0 &0 &1 \\ 0& 1 & 0 & 0\\ 0&0 & 1&1 \end{pmatrix}\nl \begin{pmatrix} 1& -2 &-1 & 0 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1& 0 & 1 & 2 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\nl \begin{pmatrix} 1& 1 &-1 & 0 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix} 1& 0 &-2 & -1 \\ 0& 1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}$

Matematické Fórum

#1 18. 06. 2019 18:31

Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

#2 18. 06. 2019 19:04 — Editoval Ferdish (18. 06. 2019 19:05)

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

#3 18. 06. 2019 19:12

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

#4 18. 06. 2019 19:14

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

#5 18. 06. 2019 20:46

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

#6 18. 06. 2019 21:21 — Editoval kerajs (18. 06. 2019 21:28)

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

laszky napsal(a):

#7 19. 06. 2019 01:12

Re: Soustava lineárních rovnic s reálným parametrem

Zápatí