Matematické Fórum

Kája2 · 22. 06. 2019 07:53

Ahoj,
mohu požádat o radu s s tímto příkladem?Vůbec nevím, jak začít řešit. Požární letadla načerpávají vodu za nízkého letu nad vodní hladinou jezera či řeky,. Jak velkou musí mít letadlo rychlost, aby dvěma trubicemi o průměru 8 cm načerpalo 4 kubíky vody na dráze 450 m při letu ve výšce 2 m nad hladinou?
Moc děkuji za každý názor či radu.

edison · 22. 06. 2019 10:09

Rychlost letadla shodná s rychlostí vody v trubkách.

edison · 22. 06. 2019 10:11

Pardon. Takhle jednoduché to není:-)

Vygůgli si "pitotova trubice"

Kája2 · 22. 06. 2019 10:57

↑ edison:
Děkuji, na internetu jsem se díval, jde o odvození z Bernoulliho rovnice, ta pak vychází jako $v=\sqrt{2g(h_{1}-h_{2})}$ .Ovšem, jak tam zakomponuji tu dráhu?

edison · 22. 06. 2019 12:00

Kája2 napsal(a):
$v=\sqrt{2g(h_{1}-h_{2})}$ .Ovšem, jak tam zakomponuji tu dráhu?

Tohle je výpočet rychlosti pro dosažení tlaku odpovídajícímu h1-h2.

Jenže ty musíš vypočítat rychlost takovou, aby tlak postačoval pro vznik průtoku takového, aby za dobu letu po dané dráze naplnil nádrž.

Kája2 · 22. 06. 2019 12:04

↑ edison:
Tak to jsem v koncích :-(

edison · 22. 06. 2019 13:00

Možná to nebude tak hrozné, když napíšeš, kterým částem problému nerozumíš.

Kája2 · 22. 06. 2019 13:16 — Editoval Kája2 (22. 06. 2019 13:29)

↑ edison:
Nevím, jak vůbec začít, nejlépe z Bernoulliho rovnice: $p_{1}+\frac{1}{2}\varrho v_{1}^{2}=p_{2}+h\varrho g+\frac{1}{2}\varrho v_{2}^{2}$ . Levou stranu rovnice beru při hladině tudíž člen $h_{1}\varrho g$ bych považoval za nulový a $h_{2}\varrho g = h\varrho g$ , kde h je zadaná výška. Takže bych se dostal sem. $p_{1}+\frac{1}{2}\varrho v_{1}^{2}=p_{2}+h\varrho g+\frac{1}{2}\varrho v_{2}^{2}$ . A dále nevím, co si počíst. Přes rovnici kontinuity $S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2}$ ,ale ta hadice má všude stejný průměr, tudíž by mi z toho plynulo, že $v_{1}=v_{2}$ .

edison · 22. 06. 2019 14:36

Původně jsem si myslel, že by se na to mělo jít přes odpor, který trubka klade proudění (je to v podstatě stejné, jako s proudem a odporem u elektřiny, tam taky dojdeme k tomu, že odpor je průřez/délka krát nějaká materiálová konstanta - měrný odpor).

Jenže teď jsem na to zadání kouknul znova a ona tam není ta délka trubky. Navíc jsem zjistil, že to by taky záviselo na materiálu/hrubosti povrchu trubky a ten taky není uveden.

Takže jako další možnost mě napadá, jestli tam třeba ta výška není nadbytečná. Pak by se to asi spočítalo úplně banálně, podle toho co mě napadlo prvně: Rychlost v trubkách shodná s rychlostí letadla.

Pak ještě možnost: tady http://hydraulika.fsv.cvut.cz/Hydraulik … r_cv04.pdf
se podívej na "b) Řešení při započítání ztrát" tohle by mělo být prostě jen naopak a počítat s tím, že na konci trubky je zdroj tlaku, počítaný jako ta pitotka.

Kája2 · 22. 06. 2019 14:47 — Editoval Kája2 (22. 06. 2019 14:49)

↑ edison:
Děkuji Vám, dle výsledků by mělo vyjít $v= \sqrt{\frac{2gh}{1-(\frac{2V}{\pi sd^{2}})^{2}}}$ , čitatel bych dle Pitotovy trubice dopočítal, ovšem ten jmenovatel. Jak bych tedy mohl vyjít z těch stejných rychlostí, prosím?Kdybych jel ,,pozpátku", tak úpravou výrazu bych se dostal k tomuto $\frac{1}{2}v^{2}-\frac{1}{2}v^{2}(\frac{2V}{\pi sd^{2}})^{2}=gh$ .

edison · 22. 06. 2019 15:02

Když je tam obsaženo h, tak to s těmi stejnými rychlosti nepůjde. Ala jak tak na to koukám, není to přes zachování energie?

Kája2 · 22. 06. 2019 15:19 — Editoval Kája2 (22. 06. 2019 17:11)

Že by bylo $\frac{1}{2}\varrho v^{2}=\frac{1}{2}\varrho v^{2}(\frac{2V}{\pi sd^{2}})^{2}+\varrho gh$ .Ovšem,co je člen $(\frac{2V}{\pi sd^{2}})^{2}$ .? Respektive, jak se k němu mohu dopracovat?

zdenek1 · 22. 06. 2019 18:31

↑ Kája2:
Je to zákon zachování energie (Bernoulliho rovnice) + rovnice kontinuity.
Kdybys použil jen $v=\sqrt{2g(h_{1}-h_{2})}$ (příspěvek #4), tak by voda vystoupala do výšky $h$ a ZASTAVILA by se.
Ale ty potřebuješ, aby ještě dál tekla tak, aby naplnila objem $V$

Tj.
$\frac12\varrho v_{\text{rychlost letadla}}^2=\frac12\varrho v_{\text{rychlost natekani do nadrze}}^2+h\varrho g$ (Bernoulliho rovnice)

A nyní rovnice kontinuity: $\frac{V}{t}=Sv_{\text{rychlost natekani do nadrze}}$
a čas $t=\frac{s}{v_{\text{rychlost letadla}}}$
což ti dá
$v_{\text{rychlost natekani do nadrze}}=\frac{ Vv_{\text{rychlost letadla}}}{sS}$

no a
$S=2\frac{\pi d^2}{4}$ (ty trubky jsou dvě)

zbytek jsou počty