Matematické Fórum

PakoNaKvadrat

Zdravím, nevěděl jsem, kam to dát. Chtěl jsem se zeptat, který z následujících postupů při úpravě výrazu x^(a/b) je korektní a který nikoliv a hlavně proč tomu tak je?

$x^{\frac{a}{b}} = x^{\frac{1}{b}\cdot{a}} = (x^\frac{1}{b})^{a} = {\sqrt[b]{x}}^{a}$

$x^{\frac{a}{b}} = x^{\frac{1}{b}\cdot{a}} = (x^{a})^\frac{1}{b} = \sqrt[b]{x^{a}}$

Předem děkuji. :)

vlado_bb · 24. 06. 2019 00:23

↑ PakoNaKvadrat: Ak vsetky uvedene vyrazy existuju, obe upravy su v poriadku.

PakoNaKvadrat

To mi právě nesedí. Viz následující situace. Mějme záporný základ mocniny a lichý exponent, čili:

$(-|x|)^{2k-1}$

Rozšiřme si člen 2k-1:

$(-|x|)^{\frac{2(2k-1)}{2}}$

Rozepišme si výraz takto:

$(-|x|)^{\frac{1}{2}\cdot 2(2k-1)}$

A teď nastává ta zajímavá část. Pokud budeme postupovat podle první navržené úpravy, dostaneme:

$(-|x|)^{\frac{1}{2}\cdot 2(2k-1)} = ((-|x|)^{\frac{1}{2}})^{2(2k-1)} = \sqrt{-|x|}^{2(2k-1)}$

Ale v případě užití druhé úpravy zjistíme, že:

$(-|x|)^{\frac{1}{2}\cdot 2(2k-1)} \neq ((-|x|)^{2(2k-1)})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-|x|)^{2(2k-1)}}$

PakoNaKvadrat

Schválně si za x i k dosaďte 1.

Pak podle prvního způsobu úpravy platí:

$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} = ((-1)^{\frac{1}{2}})^{2} = \sqrt{-1}^{2}$

Ovšem při druhém postupu:

$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} \neq ((-1)^{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-1)^{2}}$

zdenek1 · 24. 06. 2019 07:12

↑ PakoNaKvadrat:
Tak si přečti ještě jednou

Ak vsetky uvedene vyrazy existuju

PakoNaKvadrat

PakoNaKvadrat napsal(a):
... a hlavně proč tomu tak je?

↑ zdenek1: Děkuji ti za velice podrobné vysvětlení, proč nelze výraz tím kterým způsobem upravovat.

edison · 24. 06. 2019 13:33

Tak ono na tom vážně není nic moc k podrobnému vysvětlování.

PakoNaKvadrat napsal(a):
Pak podle prvního způsobu úpravy platí:
$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} = ((-1)^{\frac{1}{2}})^{2} = \sqrt{-1}^{2}$

Ovšem při druhém postupu:
$(-1)^{1} = (-1)^{\frac{2}{2}} = (-1)^{\frac{1}{2}\cdot 2} \neq ((-1)^{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{(-1)^{2}}$

Prostě $\sqrt{-1}$ je chyba, stejně jako třeba $\frac{125}{0}$ a z postupu, který takové kroky obsahuje, pak může vyjít jakýkoli nesmysl. Prostě všechny kroky musejí mít definiční obory takové, aby s daným vstupem mohly fungovat.

Samozřejmě, může se stát, že nějaké takové věci potřebujeme, ale pak jsou zas potřeba limity, komplexní a pod.

misaH · 24. 06. 2019 18:02 — Editoval misaH (24. 06. 2019 18:04)

$\sqrt{-1}^{2}$ , presnejšie teda asi $$\sqrt{-1}$^{2}$

obsahuje výraz $\sqrt{-1}$ , ktorý v reálnych číslach nemá zmysel (to jest nie je to číslo, neexistuje).

Miesto irónie radšej bolo treba rozmýšľať, kvôli ktorému výrazu vlado_bb svoj text napísal, nezdá sa ti?

PakoNaKvadrat

Díky za odpovědi. Ironie rozhodně nebyla směrována na uživatele vlado_bb. Jinak ano, souhlasím, že výraz $\sqrt{-1}$ má samozřejmě smysl v komplexní rovině, zatímco v reálných číslech nikoliv. Jde mi ovšem spíše obecně o ten postup. Přece platí, že $(\sqrt[b]{x})^a = (x^{\frac{1}{b}})^a = x^\frac{a}{b}$ a $\sqrt[b]{x^a} = (x^{a})^\frac{1}{b} = x^\frac{a}{b}$ , ne?

Pomineme-li tedy případ záporného čísla pod sudou odmocninou, proč neplatí rovnost mezi $(-1)^{\frac{2}{2}}$ a $\sqrt{(-1)^{2}}$ ?

Stýv · 24. 06. 2019 19:57

↑ PakoNaKvadrat: https://cs.wikipedia.org/wiki/Umoc%C5%8 … Vlastnosti
Podívej se, jaké to má předpoklady.

edison · 24. 06. 2019 21:06

PakoNaKvadrat napsal(a):
Pomineme-li tedy případ záporného čísla pod sudou odmocninou, proč neplatí rovnost mezi $(-1)^{\frac{2}{2}}$ a $\sqrt{(-1)^{2}}$ ?

To je jako napsat "Pomineme-li že sklo je nevodivé, proč skleněnou tyčku nemůžu použít jako drát k napájení žárovky?"

Prostě to - pod sudou odmocninou je podstata problému.

Stýv · 24. 06. 2019 21:25

↑ edison: Vyčisti si monitor, ptá se na ten druhej případ, kde není záporný číslo pod sudou odmocninou.

PakoNaKvadrat · 24. 06. 2019 23:13

↑ Stýv: Díky moc. :) Teď už to dává smysl.

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2019 23:52 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 00:55)

Správná úprava matematického výrazu

#2 24. 06. 2019 00:23

Re: Správná úprava matematického výrazu

#3 24. 06. 2019 01:00 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 01:10)

Re: Správná úprava matematického výrazu

#4 24. 06. 2019 01:05 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 01:15)

Re: Správná úprava matematického výrazu

#5 24. 06. 2019 07:12

Re: Správná úprava matematického výrazu

#6 24. 06. 2019 09:32 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 10:33)

Re: Správná úprava matematického výrazu

PakoNaKvadrat napsal(a):

#7 24. 06. 2019 13:33

Re: Správná úprava matematického výrazu

PakoNaKvadrat napsal(a):

#8 24. 06. 2019 18:02 — Editoval misaH (24. 06. 2019 18:04)

Re: Správná úprava matematického výrazu

#9 24. 06. 2019 18:51 — Editoval PakoNaKvadrat (24. 06. 2019 19:00)

Re: Správná úprava matematického výrazu

#10 24. 06. 2019 19:57

Re: Správná úprava matematického výrazu

#11 24. 06. 2019 21:06

Re: Správná úprava matematického výrazu

PakoNaKvadrat napsal(a):

#12 24. 06. 2019 21:25

Re: Správná úprava matematického výrazu

#13 24. 06. 2019 23:13

Re: Správná úprava matematického výrazu

Zápatí