Matematické Fórum

Spider97

Ahoj, prosím Vás, vysvětlil by mi někdo co je to transcendetní prvek nad okruhem? Na přednáškách to jen rychle přeletěl, ve skriptech je k tomu jedna věta, ale v úkolu jej mám zadaný na vypočítání.

jarrro · 20. 06. 2019 12:34

Prvok rozšírenia (nadokruhu)(malo by byť uvedené alebo z kontextu úlohy jasné ktoré rozšírenie sa myslí), ktorý nie je koreňom žiadneho polynómu s koficientami z pôvodného okruhu.
Napríklad čísla ako $\pi$ alebo $\mathrm{e}$ sú transcendentné nad okruhom racionálnych čísel

Spider97 · 20. 06. 2019 14:30

↑ jarrro: Děkuji za vysvětlení. Takže když mám obecně zadaný příklad, že $t$ je transcendetní prvek nad okruhem A $(A,+,\cdot )$ a mám dokázat, že i $(t+1)$ je transcendetní nad okruhem A, jak mám začít prosím?

byk7 · 20. 06. 2019 18:48

↑ Spider97: Sporem, předpokládej, že t+1 není transcendentní, pak existuje polynom, jehož je kořenem...

vanok · 20. 06. 2019 21:17 — Editoval vanok (20. 06. 2019 21:44)

Mala poznamka.
Je uzitocne vediet aj ako su charakterizovane algebricke cisla. A pochopitelne aj vediet ich (aspon zakladne) vlasnosti.

jarrro · 21. 06. 2019 07:12

Nech $t+1$ je koreňom polynómu $P$
Uvažuj o polynóme $Q: x\mapsto P{$x+1$}$

Spider97 · 23. 06. 2019 19:07

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/09620_trancendentn%25C3%25AD%2Bprvek.png

tohle jsem dala dohromady tedy

vlado_bb · 23. 06. 2019 22:53

↑ Spider97: V rieseni chyba slovny komentar. Ak sa pokusis doplnit ho, zrejme si uvedomis chyby, ktore tam mas. Tak napriklad - na zaciatku druhaho riadku dokazu su $A,B$ vyroky, ale v tom istom riadku sa z nich stanu prvky okruhu. Takisto nie je jasne, preco by vyraz v poslednom riadku mal byt nulovy a ak by aj bol, co by to znamenalo. Vsimni si, ze ↑ jarrro: ti ulohu v podstate vyriesil.

Spider97 · 23. 06. 2019 23:32

↑ vlado_bb: Řídila jsem se tím, co mi poradil můj učitel. Výroky $A, B$ mají jakoby reprezentovat ty prvky okruhu, ale máte pravdu, upravím to. Dále jsem se v postupu snažila dokázat pomocí úprav obecného předpisu polynomu, že $t+1$ je kořenem nějakého polynomu a pokud polynom položím rovno nule, měla bych dostat jeho kořeny. Poslední řádek je vlastně polynom, který vznikl roznásobením $t+1$ což dokazuje, že $t+1$ je kořenem tohoto polynomu, nebo jsem si to špatně vyložila?

vlado_bb · 23. 06. 2019 23:50

↑ Spider97: Nadokazujeme, ze $t+1$ je algebraicke, my to predpokladame. Sama to predsa pises v druhom riadku dokazu: $B' \implies A'$ .

Spider97 · 24. 06. 2019 00:05

↑ vlado_bb: Však tento předpoklad chceme dokázat ne? Jsem z toho zmatená, jakmile zmizí čísla a je to obecně, tak se začínám ztrácet.

vlado_bb · 24. 06. 2019 00:19

↑ Spider97: Ale ved sama pises, ze dokazujes tvrdenie "Ak $t+1$ je algebraicke, tak $t$ je algebraicke." Takze PREDPOKLADAS, ze $t+1$ je algebraicke, nedokazujes to.

Spider97 · 24. 06. 2019 00:27

↑ vlado_bb: Tak tedy potom nevím, co mám dělat. Vím, že jste odkazoval na to, co radil jarrro, ale to taky nevím, jak myslí.

jarrro · 24. 06. 2019 07:03

Máš dokázať implikáciu
$\underbrace{t\text{ je transcendentné }}_{A}\Rightarrow \underbrace{t+1 \text{ je transcendentné }}_{B}$
Čo je ekvivalentné implikácii
$\underbrace{t+1 \text{ je algebraické }}_{\neg{B}}\Rightarrow \underbrace{t \text{ je algebraické }}_{\neg{A}}$
Teda predpokladáš iba, že si v okruhu a v jeho rozšírení a že existuje polynóm $P$ taký, že $P{$t+1$}=0$ .
Ak definuješ $$\forall x$$Q{\(x$}=P{$x+1$}\)$ tak zistíš, že $Q{$t$}=P{$t+1$}=0$ , teda aj $t$ je algebraický. (Že $Q$ je polynóm je buď zrejmé alebo to môžeš dokázať ako súčasť hlavného dôkazu.)

Spider97 · 24. 06. 2019 15:40

↑ jarrro: tak ale proč mi to, co jsem tu posílala ten učitel ukazoval? a říkal, že to tak stačí

Brano · 24. 06. 2019 17:02

rad by som este podotkol, ze sme tu uz raz mali debatu, ze "transcendentny prvok nad okruhom" nie je standardny pojem, ale existuje "transcendentny prvok nad polom" - tak by ma zaujmala aj ta jedna veta so skript co sa tomu venuje

Spider97 · 24. 06. 2019 17:08

↑ Brano: //forum.matweb.cz/upload3/img/2019-06/88874_v%25C4%259Bta.png

jarrro · 25. 06. 2019 13:12 — Editoval jarrro (25. 06. 2019 13:14)

tak ale to je úplne niečo iné potom.
Nech $t$ je transcendentný prvok a nech $a_0+a_1$t+1$+a_2$t+1$^2+\cdots+ a_n$t+1$^n=0$
$a_0+a_1+a_1t+a_2t^2+a_2t+a_2t+a_2+\cdots+a_nt^n+\underbrace{a_nt^{n-1}+\cdots+a_nt^{n-1}}_{n \text{ krát }}+\cdots+\underbrace{a_nt^{n-k}+\cdots+a_nt^{n-k}}_{{{n}\choose {k}}\text{ krát }}+\cdots+a_n=0$
Teda z transcendencie tčka vyplýva, že $a_n=0$
Teda $a_0+a_1$t+1$+a_2$t+1$^2+\cdots+ a_{n-1}$t+1$^{n-1}=0$
Podobne sa dostane, že $a_{n-1}=0$ atď.
Indukciou z predpokladu, že $a_{n-k}=0$ a použitím daného postupu dostaneš $a_{n-k-1}=0$ pre $k<n$
Teda všetky ačka sú nuly teda $t+1$ je transcendentné.
Snáď som nenapísal somariny skontrolujte to niekto prosím.