Matematické Fórum

Sangwiny · 14. 07. 2019 15:21

Zdravím, mám problém s řešením úlohy:

Člun pluje kolmo ke směru proudu řeky rychlostí 4,5 m/s, rychlost říčního proudu má velikost 2,8 m/s a řeka je široká 80 m. Jestliže byl člun v unesen proudem o 50 metrů po proudu, tak pod jakým úhlem (měřeno vůči kolmici k oběma břehům) musí mířit podélná osa člunu, aby se na zpáteční cestě vrátil přesně do stejného místa, z něhož předtím vyplul? Jak dlouho mu bude trvat cesta nazpět?

Logicky mě napadá to tedy počítat jako trojúhelník, kde jedna strana má 80 m a jedna 100 m. Když to počítám jako arcsin, tak mi to vychází 53°, ale dle výsledků to má vyjít 63,8° a t = 40 s. Jak mám tedy postupovat, abych se dobral ke správnému výsledku?

Ferdish · 14. 07. 2019 15:44

Strane dĺžky 80 m rozumiem (šírka rieky), ale prečo strana dĺžky 100 m, keď v zadaní je, že člen bol unesený len o 50?

Sangwiny · 14. 07. 2019 16:10

Protože musí překonat dvakrát vzdálenost 50 m, ne? Poprvé se přesunula 50 m dolů po proudu a nyní musí tuto vzdálenost překonat, aby se mohla vrátit do původního bodu a k tomu ještě překonat dalších 50 m, o které by teď byla unesena, kdyby opět plula pouze kolmo. Možné to je blbě, nemám na tohle hlavu..

Jak to tedy spočítat?

KennyMcCormick

Nechť oba břehy jsou rovnoběžné s osou x a nechť řeka teče zleva doprava.

$\alpha$ - úhel svírající trajektorie člunu s břehem

$\beta$ - úhel, který musí podélná osa člunu svírat s kolmicí k oběma břehům

$v_{x1}$ - x-ová komponenta rychlosti člunu způsobené člunem

$v_{y1}$ - y-ová komponenta rychlosti člunu způsobené člunem

$v_{x2} = 2,8\,\text{m/s}$ - x-ová komponenta rychlosti člunu způsobená proudem

$v_{y2} = 0$ - y-ová komponenta rychlosti člunu způsobená proudem

$\mathbf{v}_1 = (v_{x1},v_{y1})$ - rychlost člunu na cestě zpět způsobená člunem

$\mathbf{v} = (v_x,v_y)$ - celková rychlost člunu na cestě zpět

Rovnice:

$\tan\beta = \frac{-v_{x1}}{-v_{y1}}$

$\alpha=\arctan\frac{80}{50}$

$\tan\alpha={\frac{-v_y}{-v_x}}$

$v_1 = \sqrt{v_{x1}^2+v_{y1}^2} = 4,5\,\text{m/s}$

$v_x = v_{x1} + v_{x2}$

$v_y = v_{y1} + v_{y2} = v_{y1} + 0 = v_{y1}$

Dosadíme ze 2., 5. a 6. rovnice do rovnice 3:

$\tan\beta = \frac{-v_{x1}}{-v_{y1}}$

$\frac{80}{50}={\frac{-v_{y1}}{-(v_{x1} + v_{x2})}}$

$v_1 = \sqrt{v_{x1}^2+v_{y1}^2} = 4,5\,\text{m/s}$

To jsou 3 rovnice o 3 neznámých: $\beta$ , $v_{x1}$ , $v_{y1}$ .

Je to jasné?

Víš, jak dál?