Matematické Fórum

Pěkný den všem! Snad zde tato úloha ještě nebyla, snažil jsem se ji tu někde v historii najít, ale zatím neúspěšně. Dočetl jsem se o ní v knížce, která by snad (rádoby) měla obsahovat úlohy přisuzované Leonardu da Vinci (osobně o tom dost pochybuji, no ale to asi není až zas tak podstatné). Přiznám se, že jsem ani za měsíc ode dne, kdy jsem si její zadání přečetl, nedospěl k dostatečně uspokojivému řešení, a tak se na Vás obracím s prosbou, neuměl-li by někdo poradit.

Zadání úlohy zní:
Máme kružnici známého poloměru , pro jednoduchost řekněme 1. Této kružnici opíšeme rovnostranný trojúhelník, kterému následně opíšeme zase kružnici (její poloměr označme ). Této druhé kružnici opíšeme nyní čtverec a jemu následně opíšeme zase další kružnici (o poloměru ). Pokračujeme v opisování posledně získané kružnice nyní pravidelným pětiúhelníkem, kterému opět opíšeme kružnici (nyní již o poloměru ). Jak už jistě chápete, následovat budeme opisováním pravidelným šestiúhelníkem (jemuž poté opíšeme kružnici o poloměru ), pravidelným sedmiúhelníkem, ...  Otázka zní: ke které hodnotě bude konvergovat nekonečná posloupnost poloměrů kružnic opisovaných takto postupně dalším a dalším víceúhelníkům?

Již jsem byl schopen si jakž-takž zdůvodnit, že tato posloupnost vůbec konvergovat bude a nechat si ve wolframu spočítat výsledek té limity  (ta její hodnota je přibližně  8,700-násobek hodnoty ). Nějak mi to ale nestačí a rád bych věděl, existuje-li nějaká cesta, jak k tomu výsledku dospět běžnými znalostmi studenta základního kursu matematické analýzy na vysoké škole. Říkám si: jak by totiž na ni mohl znát odpověď už samotný Leonardo? (Chápu při tom, že v jeho době mohla mít ta úloha jinou formulaci, třeba mít  o něco méně náročnější požadavek - např. jen nějaké omezení, jak velký papír je zapotřebí si vzít, aby se mu to tam ty konstrukce všech těch mnohoúhelníků vešly...).

Vlastně tak chci odpověď na dotaz, jak se dospěje k tomu, že

(omlouvám se za neumětelství v zápisu v matematických výrazů pomocí LaTeXového editoru - má první zkušenost)