Matematické Fórum

krakonoš

😊

vanok · 15. 08. 2019 17:49 — Editoval vanok (15. 08. 2019 18:00)

Ahoj ↑↑ krakonoš:,
Ale ano, ( podla vlasnosti funkcie []),
Uvedom si, ze druha vlasnost sa pise aj $k+1>\frac 1x>k+\frac 12$ da $f(x)=1$
( tu vlasnost som napisal v takom tvare v#448, aby som mal okamzite intervaly v ktorych funkcia f je =1)
Tvoj pripad je presne taky, mas $2+1>8/3>2+1/2$ a tak pochopitelne ako pisem v tej druhej skrytej vlasnosti, mas $f(3/8)=1$ . ( cize mas k=2 a 1/x je v blizsie ku 3 ako ku 2)

Uvedom si ze ta skryta poznamka je tam pre ludi co by inac dlho hladali co som to pouzil v dokaze pytanej limity.

Staci?
Pekny dnesny sviatok.

👍

krakonoš · 15. 08. 2019 18:34

↑ vanok:
Ale to je přesně ten krok ,co mi není jasný.
Když x=k/n , jak jsi sám zavedl ,a bereme x=3/8.Jak může být k=2?To je přece 3 ne?

vanok · 15. 08. 2019 18:42

k/n je potrebne na konstatovanie co tyka Riemann- $\int$ .
To da integral co treba urcit.... to da funkciu f, a potom pokracujes klasicky vysetrovanie f ....

krakonoš

↑ vanok:
Ahoj
Ve skrytém textu by podle mě mělo správně být [1/x] místo k. Pro x z uzavřeného intervalu 0;1 proběhne funkce [1/x] množinu N ,a pak lze uvažovat podle následujícího postupu.Když je tam k , které jednou označuje čítací index a podruhé něco jiného, tak se v tom pak velmi těžko někdo orientuje.V tom se pak vyzná jedině ten, kdo si to vše odvodí sám.

vanok · 16. 08. 2019 19:55 — Editoval vanok (16. 08. 2019 19:56)

Ahoj ↑ krakonoš:.
Na to co treba , to co pisem je ok.
Ja urcujem podintervaly intervalu [0;1] na ktorych funkcia f je nulova a take na ktorych je 1.
Ja ine nepotrebujem na dokaz hladanej limity. ( i ked mozes sa zabavat a popisovat ine vlasnosti)
Ja sa v tom dobre ( co treba na dokaz) orientujem.
Osobne povazujem (89) za vyriesene.

krakonoš · 16. 08. 2019 22:01

↑ vanok:
Jestli se tě to nějak dotklo, tak se omlouvám, to jsem nechtěla.
Já viděla během studia hodně důkazů, určitě kolem 2000.
Ještě jsem ale fakt neviděla, aby někdo označil x=k/n a o pár řádků níže označil celou část 1/x jako k. Myslela jsem , že to celé děláš hlavně pro ostatní lidi a ne jen pro sebe. Ty sám jsi měl nedávno poznámky i k jiným autorům , že bys musel jejich důkaz studovat moc dlouho, abys do toho pronikl, že je pro tebe jednodušší ten tvůj.
Je smutné,že si lidi nemohou vyměnit navzájem některé myšlenky.
Je mi to fakt líto.

vanok · 16. 08. 2019 23:52

↑ krakonoš: ,
Ani 2000 prikladov niekedy nestaci.

vanok · 17. 08. 2019 04:57 — Editoval vanok (17. 08. 2019 05:01)

Cau ↑ krakonoš:
Dakujem, ze sa omluvas ... ale nerozumiem tvoje riadky.
To si spravne konstatovala. Je to pre kazdeho to co som napisal.

Neviem, ako mozes pisat take veci.
Lepsie by si urobiia keby si pozorne precitala to co som napisal.

Este aj sa tvojich strekoskolskych casoch sa vysvetloval pojem viazanej premennej. A to je pripad toho k v definicii u_n. ( a urcite sa to teraz uci aspon na zaciatku VS).
To znamena ze v tom vzorci ( co je Riemann- suma!!!) miesto k mozes pouzit co len chces... az na n. A zda sa ze si to zabudla.
To umoznuje definovat f, ktorej intergral je limita u_

A to co je potom je vysetrenie a vyuzitie tej funkcie f. A, ze som tam pouzil k, tak to nema suvis z viazanou premennou z prvej casti. Vsak som tam napisal o ake k ide.
Mozem pokracovat, ale na co dobre ked mojom texte je vsetko povedane ako som chcel. ( som to znovu cital.. a zatial tam ziazny preklep nevidim!!!)

krakonoš · 17. 08. 2019 07:27

↑ vanok:
Ahoj
V tom skrytem textu je nerovnice,ktera obsahuje jak k tak x.Jestlize x je definovano pomoci k/ n, nelze preci mit jednu nerovnici,ve ktere figuruji dve stejna k a znamenaji neco jineho?
Navic ty jsi napsal,ze k je z N.Vseobecny kvantifikator nebyl pouzit. Puvodni k je rovnez prirozene cislo.

kerajs · 17. 08. 2019 07:36

#90

$\lim_{n\to\infty }\prod_{i=1}^{n}\bigg(1-\frac{1}{2^{2i-1}}\bigg)$

vanok · 17. 08. 2019 09:53 — Editoval vanok (17. 08. 2019 10:07)

↑ krakonoš:,
Ak nerozumies uz s tebou viac nedokazem.
Nic take co pises som nepovedal.
Som ti poslal dokaz, no necitala si ho. Alebo si ho nepochopila. Skoda
Tiez som ti ukazal na tvojich konkretnych prikadoch, ze dane implikacie su pravdve. Aj ked si o tom pochybovala.

( tiez som ti ukazal ako pre dane x urcis k.... no podla toho co pises si to tiez nepochopila, a je lahsie povedat, ze som tupak ako povedat ze si to nepochopila).

Si urazena, ze tvoj dokaz bol spatny a tak si ho vymazala.

No nerozumiem ta. O co ti ide?

Skoncil som na tuto temu.

Pekny den.

vanok · 22. 08. 2019 18:42 — Editoval vanok (22. 08. 2019 18:43)

Ahoj ↑ kerajs:,
Tvoje cvicenie (90) ma suvis co a tyka metody vysetrenia z tymto https://math.stackexchange.com/question … &lq=1.

A da sa pouzit aj http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html ?

vanok · 01. 09. 2019 15:39

Problem (91)

Vysetrite $\sum_{n=1}^{+\infty} (\sum_{m=1}^{+\infty} \frac 1{m^2n+mn^2+2mn })$ .

vanok · 03. 09. 2019 08:56

Pozdravujem,
Problem (91).
Ziadne reakcie.
Tak asi kazdy vyriesil toho ( lahke?) cvicenie.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanusok · 06. 09. 2019 12:48

↑ vanok:
Pozdravujem.
Lahke??
1/2*((1+1/2+1/3) +1/2*(1+1/2+1/3+1/4)+1/3+7/24)=7/4

vanok · 06. 09. 2019 13:48

Ahoj ↑ vanusok:,
To co pises, nie je dokaz problemu (91).
Tu to ( lahke) znamena, ze pouzijes viacero vysledkov, ktore nie su trivialne.

vanusok · 06. 09. 2019 14:44

↑ vanok:
Ja viem. Ale je to vel'a prace- to napísať.Bolí ma ruka.

vanusok

Nu dobre
$R=\sum_{x=1}^{\infty }\sum_{y=1}^{\infty }\frac{1}{x^{2}y+y^{2}x+2xy}=$ $\sum_{x=1}^{\infty }\frac{1}{x(x+2)}\sum_{y=1}^{\infty }(\frac{1}{y}-\frac{1}{x+2+y})$

$S_{n}=\sum_{y=1}^{n}(\frac{1}{y}-\frac{1}{x+2+y})=$ $1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+x+2}$
$\lim_{n\to\infty }S_{n}=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{x+2}$
$R=\sum_{x=1}^{\infty }\frac{1}{x(x+2)}\cdot (1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{x+2})$
$R=\frac{1}{2}\cdot \sum_{x=1}^{\infty }(\frac{1}{x}\cdot (1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{x+2})-\frac{1}{x+2}\cdot (1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{x+2}))$
$S_{n_{R}}=\frac{1}{2}\cdot [1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+$ $\sum_{k=3}^{n}\frac{1}{k}\cdot (\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2})-$ $\frac{1}{n+1}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+1})-$ $\frac{1}{n+2}(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n+2})$
$\sum_{k=3}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=3}^{\infty }\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{3}$
$\sum_{k=3}^{\infty }\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\cdot \sum_{k=3}^{\infty }(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})$ $=\frac{7}{24}$
$R=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+\frac{1}{3}+\frac{7}{24}]=\frac{7}{4}$

A vedel by si ako vyriešiť cv28 ?

vanusok

↑ vanok:
cv28
Alebo takto? Tiez delikatne riesenie?
$S=\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}(n+k-k)\cdot \frac{k^{2}}{k+n}$ $=\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}k^{2}-\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}\frac{k^{3}}{k+n}$
&
$S=\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}n\cdot \frac{k^{2}-n^{2}+n^{2}}{k+n}$ $=\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}n\cdot k-\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}n^{2}+\sum_{n=1}^{10}\sum_{k=1}^{10}\frac{n^{3}}{k+n}$
Je tvoja riesenie naozaj krajsi?

vanok · 08. 09. 2019 14:19

Ahoj ↑ vanusok:,
Povedal by som ze pojem krajsi je subjektivny. Tu skor ide o ucinost.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

krakonoš · 08. 09. 2019 19:23

↑ vanok:
Ahoj.
Mohu se zeptat, co má být vidět z tabulky, když součet S je závislý pouze na počtu řádků a sloupců, nikoli na scítancích?
Díky

vanok · 08. 09. 2019 19:42 — Editoval vanok (09. 09. 2019 10:02)

Cau ↑ krakonoš:,
Ide o konecny pocet scitancov, a preto je legitimne pocitat tak, ze sa tak ako ti vyhovuje. ( napr. Najprv podla riadkov alebo podla stlpcov .... vtedy ide o vymenu $\sum_{}^{}$ )

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 10. 09. 2019 10:27

Ahoj ↑ vanusok:,
Poznamky k (91).
V danom dokaze treba ukazat najprv, ze ta limita vobec existuje,
Potom pisat vzorce bez vysvetlenia nie je dokaz.
Treba nam tu napisat ako sa pride ku kazdemu vzorcu.
Urcite ho doplnis ako treba.

Z akeho dovodu si zmenil povodne oznacenia?

vanusok

↑ vanok:
Pozdravujem.
Ide tu o sucty kladnych clenov, kde $\lim_{y\to\infty }\lim_{x\to\infty }\frac{1}{x^{2}y+xy^{2}+2xy}=0$
S pomocou integralneho kriteria a polarnych suradnic mame
$\int_{1}^{\infty }\int_{1}^{\infty }\frac{1}{x^{2}y+xy^{2}+2xy}=$ $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{\sqrt{2}}^{\infty }\frac{1}{r^{2}\cdot cos^{2}\varphi\cdot sin\varphi +r^{2}\cdot cos\varphi \cdot sin^{2}\varphi +2rsin\varphi \cdot cos\varphi }drd\varphi <$ $\int_{0}^{\pi /2}\frac{1}{cos^{2}\varphi \cdot sin\varphi +cos\varphi \cdot sin^{2}\varphi }d\varphi \cdot \int_{\sqrt{2}}^{\infty }\frac{1}{r^{2}}dr$
limitne kriterium da
$\lim_{\varphi \to0}\frac{cos^{2}\varphi \cdot sin\varphi +cos\varphi \cdot sin^{2}\varphi }{sin\varphi +sin^{2}\varphi }=1$
$\lim_{\varphi \to\pi /2}\frac{cos^{2}\varphi \cdot sin\varphi +cos\varphi \cdot sin^{2}\varphi }{cos\varphi +cos^{2}\varphi }=-1$
$\int_{0}^{K}\frac{1}{sinx+sin^{2}x}dx<\int_{0}^{K}\frac{1}{sin^{2}x}dx$ kde $K<\pi /2$ $\lim_{x\to0}\frac{sin^{2}x}{x^{2}}=1$
teda aj $\int_{0}^{K}\frac{1}{sin^{2}x}dx$ je konvergentny.
Ja sa ospravedlnujem, ja tupak,to x y bolo z tych integralov!

Podobne je to pre $\int_{K}^{\pi /2}\frac{1}{cos^{2}\varphi \cdot sin\varphi +cos\varphi \cdot sin^{2}\varphi }d\varphi$ .To je domace cvicenie pre ostatnych.
Zadany rad je teda tiez konvergentny.