Matematické Fórum

mulder · 20. 08. 2019 07:12

Dobré ráno,
mám zde příklad $sinx+\sqrt{3}\cdot cosx=1$ Chtěl jsem místo jedničky dát vzorec $sin^{2}x+cos^{2}x$ ale nějak jsem se do toho zaplantal. Poradíte jak na to?
Děkuji

mahen · 20. 08. 2019 08:04

Ahoj, osobně bych nejspíš asi vydělil celou rovnici číslem 2 a následně použil součtových vzorců. Rovnice by pak měla vypadat takto nějak: $\sin [x+60^\circ ]=\frac{1}{2}$
No a pak už je to asi jasné...

david_svec · 20. 08. 2019 09:52

↑ mulder:

Omlouvám se za vstup,

k výsledku se dá dojít i takhle:
$sinx+\sqrt{3}\cdot cosx=1$
$\sqrt{3}\cdot cosx=1-sinx$
$3\cos ^{2}x=1-2\sin x+\sin ^{2}x$
$3\cdot (1-\sin ^{2}x)=1-2\sin x+\sin ^{2}x$
z čehož vznikne kvadratická rovnice:
$2\sin ^{2}x-\sin x-1=0$

Řešení získáš například substituční metodou. :)

zdenek1 · 20. 08. 2019 10:07

↑ david_svec:

k výsledku se dá dojít i takhle:

Ano, dá, ale protože umocnění je neekvivalentní úprava, musíš na konci provést zkoušku.
Řešením rovnice dostaneš dva kořeny
$\sin x=1$ , to je bez problémů, ale druhý kořen
$\sin x=-\frac12$ bude působit problémy :(

Postup od ↑ mahen: je mnohem lepší, protože jeho úpravy jsou ekvivalentní.

mulder · 20. 08. 2019 10:09

↑ david_svec:Díky. Toto mi připadá jednodušší. Vyjdou rovnice sinx=1 a sinx=-0,5. Z toho jen určit kořeny

mulder · 20. 08. 2019 10:12

Jeden kořen je x=90°+k*360° a další jsou 210° a 330°

david_svec · 20. 08. 2019 10:28

↑ zdenek1:

Máš pravdu, co se týče nalezení kořenů a nutnost provedení zkoušky je můj způsob o něco složitější. :)

↑ mulder:

Výsledky jsou správně. :)

Lze si všimnout jedné věci. Rozdíl mezi následujícími kořeny je vždy stejný. (210-90=120; 330-210=120)

Všechny tři výsledky se tedy dají zapsat do jednoho takto:

$x=90°+k\cdot 120°$ Tímto pokryji všechny možné výsledky. :)

mulder · 20. 08. 2019 10:29

↑ david_svec:Děkuji všem za pomoc

zdenek1 · 20. 08. 2019 10:54

↑ mulder:
Kořen 210° NENÍ správný. Udělej si zkoušku.

Matematické Fórum

#1 20. 08. 2019 07:12

goniometrická rovnice

#2 20. 08. 2019 08:04

Re: goniometrická rovnice

#3 20. 08. 2019 09:52

Re: goniometrická rovnice

#4 20. 08. 2019 10:07

Re: goniometrická rovnice

#5 20. 08. 2019 10:09

Re: goniometrická rovnice

#6 20. 08. 2019 10:12

Re: goniometrická rovnice

#7 20. 08. 2019 10:28

Re: goniometrická rovnice

#8 20. 08. 2019 10:29

Re: goniometrická rovnice

#9 20. 08. 2019 10:54

Re: goniometrická rovnice

Zápatí