Matematické Fórum

ocas123

Mám rozpracovanou následující úlohu:

V pracovní skupině jsou 3 osoby, jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby neslaví narozeniny téhož měsíce?

Vím, že musím nejprve najít možné kombinace pro výběr těch dvou osob ze tří, to se dá u nízkých čísel z hlavy (vyšlo mi 3), ale pro jistotu a pro ověření jsem počítal takto:
${3 \choose 2} = \frac{3!}{(3-2)!\cdot 2!} = 3$
Takže je možné sestavit 3 dvojice. Ale teď mám problém, u pravděpodobností se většinou hledá přívětivý jev, který se vydělí počtem všech jevů. Co je v tomto případě co? Jak se k tomu dobrat?

Pomeranc

↑ ocas123:

Nejsem na to šikovná, ale moje myšlenky jsou...

Píšeš, že mohou se sestavit tři dvojice. Přemýšlel jsi taky na možností, že by ty narozeniny slavili všichni tři?
S tím možná souvisí i formulace otázky. Neslaví právě dvě osoby nebo alespoň dvě osoby?
Pomohla by ti možnost, že to lze i spočítat 1 mínus pravděpodobnost, že dvě osoby slaví narozeniny téhož měsíce?
Přívětivý jev je požadovaný jev- dva lidi neslaví narozeniny.
Výčet všech jevů je, jaké jsou všechny možnosti, jak to dotyční mohou slavit.

Honzc · 27. 08. 2019 06:47

↑ ocas123:
Zkus se podívat třeba Sem

ocas123 · 27. 08. 2019 14:02

Mohu to tedy vypočítat takto?
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-08/07270_Bez%2Bn%25C3%25A1zvu.png

Co by byl v tomto případě počet studentů?
Nebo existuje jednodušší řešení, které bych i pochopil? :D

Jj · 27. 08. 2019 17:11 — Editoval Jj (27. 08. 2019 17:14)

↑ ocas123:

Zdravím. Řekl bych, že to ještě není ono, vytratily se Vám z úvahy měsíce.

Nemají-li se narozeniny osob "potkat", lze počet příznivých jevů podle mě "průhledně" určit takto:

- první osoba se může narodit v kterémkoliv z 12 měsíců,
- ke každému z těcho měsíců lze přiřadit 11 ostatních měsíců, kdy se může narodit druhá osoba -> pro dvě osoby celkem 12 x 11 vyhovujících možností, kdy se narozeniny nekříží,
- podobně i pro třetí osobu, takže

počet příznivých možností = 12 x 11 x 10

Takže už jen určit počet všech možností (narozeniny osob si nepřekáží) a dopočítat.

ocas123 · 27. 08. 2019 19:35

K tomu výsledku 12 x 11 x 10 jsem došel i pomocí vzorce pro variace bez opakování (k = 3, n = 12).
Počítám, že ty všechny jevy určím tak, že použiji vzorec pro variace s opakováním?
Počet příznivých jevů:
$V(3,12) = \frac{12!}{(3-2)!} = \frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$
Počet všech jevů:
$\text{V'}(3,12) = 12^3 = 1728$

Pravděpodobnost:

$P = \frac{1320}{1728} \doteq 0.7638$

Může to tak být?
Výsledek je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby ze skupiny tří osob nemají narozeniny ve stejný měsíc.