Matematické Fórum

-TR- · 03. 09. 2019 09:13

Zdravím,

nevíte, jakým způsobem řešit tuto diferenciální rovnici? Nevím, jak mám naložit s tím x^2, zároveň je mi záhadou, proč tam nikde není parametr t a jak se k němu dopracuji - separaci nelze provést.

Předem děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-09/94799_problem1.png

Bati · 03. 09. 2019 09:27

Ahoj ↑ -TR-:,
vzhledem k tomu, ze resis dif. rovnici tak neni prekvapive, ze vysledkem bude nejaka funkce $x(t)$ zavisla na $t$ . Napada me zkusit rovnici vydelit $x^2$ , prepsat $x'/x^2=-(1/x)'$ a pouzit substituci. Tim dostanes linearni ODR.

Bati · 03. 09. 2019 09:42

↑ -TR-:
Krome toho, neni pravda, ze rovnici nemuzes separovat, protoze ji muzes (formalne) upravit na
$\frac{x'}{2x-x^2}=1$ ,
takze ti staci spocitat integral $\int\frac1{2x-x^2}dx$ . Dokonce bych rekl, ze vzdycky kdyz se v rovnici prvniho radu neobjevuje promenna explicitne (to je to t), tak to muzes separovat. Myslim, ze takovym rovnicim se rika autonomni...

-TR- · 03. 09. 2019 09:52 — Editoval -TR- (03. 09. 2019 09:53)

(Příspěvek jsem měl rozepsaný ještě před odesláním předchozího příspěvku.)

Asi tu substituci dělám špatně.

Po vydělení celé rovnice x^2 jsem udělal tuto substituci:

$t = \frac{1}{x}$

Pokusil jsem se homogenní část řešit takto:

$x^{'}t^{2} = 2t$

Separoval jsem proměnné, integroval jsem a vyšlo mi, že:

$x_{H}=2c\cdot \ln t$

Ale to je asi úplný nesmysl.

Bati · 03. 09. 2019 10:00

↑ -TR-:
Asi jo... Substituce je jina funkce, ktera zase zavisi na t, napr. $y(t)=1/x(t)$ . Pokud napises $t=1/x$ , tak to uz znamena $x(t)=1/t$ , coz asi nechces.

-TR- · 03. 09. 2019 10:06 — Editoval -TR- (03. 09. 2019 10:06)

Jinak zkoušel jsem to i s tím integrálem, ale je to asi taky nesmysl. Vyšlo mi toto.

$\frac{1}{4}\cdot \ln \frac{1+\frac{x-2}{2}}{1-\frac{x-2}{2}}$

Bati · 03. 09. 2019 10:11

↑ -TR-:
No to nevypada az tak spatne.. ted jen musis vyresit rovnici $\frac{1}{4}\cdot \ln \frac{1+\frac{x-2}{2}}{1-\frac{x-2}{2}}=t+C$
pro $x=x(t)$

-TR- · 03. 09. 2019 10:15

Jestli to chápu teda dobře, mám z té rovnice vyjádřit x?

Bati · 03. 09. 2019 10:20 — Editoval Bati (03. 09. 2019 10:22)

jo

Mozna si muzes jeste pred tim dopocitat to c pomoci $x(1)=1$

Matematické Fórum

#1 03. 09. 2019 09:13

Diferenciální rovnice

#2 03. 09. 2019 09:27

Re: Diferenciální rovnice

#3 03. 09. 2019 09:42

Re: Diferenciální rovnice

#4 03. 09. 2019 09:52 — Editoval -TR- (03. 09. 2019 09:53)

Re: Diferenciální rovnice

#5 03. 09. 2019 10:00

Re: Diferenciální rovnice

#6 03. 09. 2019 10:06 — Editoval -TR- (03. 09. 2019 10:06)

Re: Diferenciální rovnice

#7 03. 09. 2019 10:11

Re: Diferenciální rovnice

#8 03. 09. 2019 10:15

Re: Diferenciální rovnice

#9 03. 09. 2019 10:20 — Editoval Bati (03. 09. 2019 10:22)

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí